內部還是外部判別？

題目：圖1是一個封閉曲線，請問A、B、C是在圖的內部還是外部。

圖1: 請問A、B、C是在圖的內部還是外部。

解答：

1.     平面上有封閉曲線時，平面就被分割為封閉曲線的內側和外側的。

如圖2，平面上有封閉曲線時 ，一定被分割為內側和外側。

如圖3，在閉曲線的內側有2個點時，這2點的連接線不與封閉曲相交的。而在外側2點的連接線也不與封閉曲線相交(圖3)。

但如果是一點在外側，另一點在內側，則此二點的連線與曲線相交(如圖4)。

圖:圖3到圖7

但且慢，這是初看如此，但仔細看，二點雖然同在內側，如果像圖5的連接方式，則也會和封閉曲線相交，  二點雖然同在外側，如果像圖6的連接方式，也會和封閉曲線相交。

當然一點在外測，一點在外內側，此二點的連接線，就不只如圖4的連接，圖7就是另一種方式。

因此我們判斷二點是在同側(同在內側或同在外側)，或二點是在異側(一點在外側，一點在外側)，有下列判斷方法。

同在內側的2點連接線和同在外側的2點連接線的情形，和一點在內側和一點在外側連結的情形，有很明顯的不同。

同在內側的2點連接線和同在外側的2點連接線，與封閉曲線相交的次數一定是零次或偶數次(如圖3、5、6)。

而連結內側和外側的點的線與封閉曲線相交時，相交的次數定是奇數。因為每穿過閉曲線1次，不是由內側向外側，就是由外側向內側變化，所以始於內側，終於內側時，一定需偶數次的變化;而始於內側終於外側時，一定需奇數次的變化。

    因此，若零也視為是偶數次'，．則得知:

(1)    連結內側之間，或外側之間的2點的線與開曲線相交偶數次。

(2)    連結被分開於內側和外側的2點的線與閉曲線以奇數次相交。

2.     人的胃是外側

因此我們可說胃袋的內面可視為是身體外側。「胃袋中的外側」這感覺，不是很奇怪的嗎?但，以閉曲線的感覺來處理時，胃袋中的確是外側(如圖8)。但，體並非平面而是立體的，所以並不是閉曲線，而是閉曲面的。圖8，胃袋與身體外部的連接線與胃細系統的連接線有3點，因此是在外側。

圖8:對身體內部而言，胃袋是外部

3.     圖1的解

 圖9:圖1的解

參考圖9，在圖1的封閉曲線外面D，連接線段DA、DB、DC，則DA線段與封閉曲線相交有3點，是機奇數，所以A與D在不同側，因D點在外側，所以A點在內側。DB線段與封閉曲線相交2點，是偶數點，所以D、B在同側，因D點在外側，所以B點也在外側。DC線段與封閉曲線相交有7點，是奇數，所以C與D在不同側，因D點在外側，所以C點在內側。

所以答案是:

C在內部，B在外部。