托勒密〈古代偉大的天文學家、數學家〉( 4) 江銘輝 五夢網

六、數學貢獻

1.三角學的先驅和托勒密定理

托勒密最有影響的著作為《天文學大成》，但原名為《數學論集》，集古代天文學之大成，並包含三角學的理論，是後來西方三角學的一個重要來源，書中採用了60進制，把圓周分成360°，同時又將半徑分成60等份;給出了從0°到90°間隔半度的弦表，相當於從0°到90°間隔1/4

的正弦函數表;引人了著名的托勒密定理，即圓內接四邊形二雙線的乘積等於兩組對邊乘積之和(圖5)，托勒密利用圓內接正五邊形和正十邊形的邊長，算出了36°和72°的弦長，又依據托劫密定理，計算出其他角度的弦長，得到了π的近似值337/120≈3.14167…;首次提出所渭三直角軸的概念。

圖5：托勒密定理：AB´CD﹢AD´BC＝AC´BD

七、地理學的貢獻

托勒密所著的《地理學》共八卷，直到十四世紀仍下失為一本地理學權威著作。

書中敘述製圖法的基本原則，將球形大地畫在平面的圖上所必須的數學知識，他相信地球是圓球形的，發明繪製地圖的錐面投影法，標出地球上8000多個地區的經緯度，這些方法已將當時已知的世界各地畫成地圖。由於投影方法的優越和簡便，《地理學》一書得到廣泛傳播，對後世產生了巨大影響，遺憾的是，當時經緯度的測量誤差太大，影響了圖的準確性。

可惜的是，由於儀器的限制，托勒密所畫的世界地圖並不十分正確，他把世界地圖畫得比實際還小，1492年哥倫布就是看了這張地圖，而決心出海遠航。如果哥倫布知道托勒密所畫的地圖是錯誤的，也許他就不會出海遠行。(圖6)

圖6：托勒密所繪製的世界地圖

它是15世紀對托勒密在的地理學書中所繪製的世界地圖抄本，在圖中托勒密把中國畫在極端東方的國家。

八、光學著作

托勒密在物理方面的著作有(光學)5卷，講到平面鏡的性質，反射定律，平面鏡成像的計算方法，還有折射現象，研究了入射角和折射角之間的關係。無疑是早期的一本光學重要著作。

九、占星術著作

托勒密有一本關於古代占星術的書，共四卷，收集了古代各種占星術和神話故事，雖然天文學水準不高，但流傳很廣。該書在元代傳入中國，明代譯成中文，叫作《四類術》。