几何奇怪的证明  江铭辉  五梦网

题目：

有人说：他可以证明梯形上下二平行边之和等于零，并作如下的证明，请问他的错误在哪里。

他的证明如下：

图1：

如图1，作一任意梯形ABCD，以a来表示CD之长，b来表示AB之长。

(1)   延长DC到F，使CF=b，延长BA到E，使EA＝a。

(2)   连EF ， BD ， AC。

(3)设AG=c ，GH=d，HC=e。

(4)在∆ABH和∆CDH中，∠HAB=∠HCD, ∠HBA＝∠HDC (内错角相等)。所以∆ABH和∆CDH相似。

于是得到：

DC/AB＝HC/HA  即 a/b＝e/(c+d)……(1)

同理可证∆EAG和∆FCG相似，并且：

AE/CF＝AG/GC  即 a/b＝c/(d+e) ……(2)

由(1)和(2)得：

a/b＝e/(c+d)＝c/(d+e) ……(3)

从刚才所证明(3)式中得：

a/b＝(e-c)/[(c+d)-(d+e)]＝(e-c)/c-e＝–1……(4)

由(4)得 a＝–b，于是a+b＝0

这是说梯形的上下两平行边之和等于零。

解答：

这个问题所犯的错误是在解(1)和(2)式上。事实上，由不(1)、(2)式得到：

ac–be＝–ad ……(5)

bc–ae＝ad ……(6)

(5)式加(6)式得：

(a+b)c–(a+b)e＝0

即(a+b)(c–e) ＝0……(7)

要使(7)式成立，其必要条件是(a十b)=0或(c-e)=0。然而，a和b都是个正数，故(a+b)决不会等于零。所以要使(7)式成立，其条件是(c-e)=0。这样一来，(4)式最右边的第二项(e-c)/c-e并不等于–1，而是等于0/0。以零作被除数是无意义的，故此最后所得a=–b便不对了。