幾何奇怪的證明  江銘輝  五夢網

題目：

有人說：他可以證明梯形上下二平行邊之和等於零，並作如下的證明，請問他的錯誤在哪裡。

他的證明如下：

圖1：

如圖1，作一任意梯形ABCD，以a來表示CD之長，b來表示AB之長。

(1)   延長DC到F，使CF=b，延長BA到E，使EA＝a。

(2)   連EF ， BD ， AC。

(3)設AG=c ，GH=d，HC=e。

(4)在∆ABH和∆CDH中，∠HAB=∠HCD, ∠HBA＝∠HDC (內錯角相等)。所以∆ABH和∆CDH相似。

於是得到：

DC/AB＝HC/HA  即 a/b＝e/(c+d)……(1)

同理可證∆EAG和∆FCG相似，並且：

AE/CF＝AG/GC  即 a/b＝c/(d+e) ……(2)

由(1)和(2)得：

a/b＝e/(c+d)＝c/(d+e) ……(3)

從剛才所證明(3)式中得：

a/b＝(e-c)/[(c+d)-(d+e)]＝(e-c)/c-e＝–1……(4)

由(4)得 a＝–b，於是a+b＝0

這是說梯形的上下兩平行邊之和等於零。

解答：

這個問題所犯的錯誤是在解(1)和(2)式上。事實上，由不(1)、(2)式得到：

ac–be＝–ad ……(5)

bc–ae＝ad ……(6)

(5)式加(6)式得：

(a+b)c–(a+b)e＝0

即(a+b)(c–e) ＝0……(7)

要使(7)式成立，其必要條件是(a十b)=0或(c-e)=0。然而，a和b都是個正數，故(a+b)決不會等於零。所以要使(7)式成立，其條件是(c-e)=0。這樣一來，(4)式最右邊的第二項(e-c)/c-e並不等於–1，而是等於0/0。以零作被除數是無意義的，故此最後所得a=–b便不對了。