祖沖之〈推算圓周率至小數點7位數〉(4) 江銘輝  五夢網

4.將圓周率算至小數點7位數

(1)劉徽割圓術

「圓周率」（以符號 π 表示）是周長與直徑之比，古人很早就有「徑一周三」 的說法，亦即若一個圓的直徑是１尺，那它的周長就是３尺。後來，人們發現這個說法並不準確，歷代許多數學家，像西漢的劉歆、東漢的張衡，都分別提 出新的近似值，不過，真正求出比較精確圓周率的，是三國時代的劉徽，而他 所用的方法就是「割圓術」，但他只算到 3.14 就沒有繼續算下去。

在研讀九章算數時，祖沖之又發現了劉徽提到的"割圓術"。所謂割圓術就是先在圓內畫個正6邊形，正6邊形的每邊長度正好等於圓的半徑，再分12邊形，用畢氏定理求出每邊的長，然後再分24邊,48邊形，96邊，一直把多邊形分下去，所得多邊形各邊長之和就可得出圓周的長度。再除以2倍的圓形半徑，就得圓周率。因此求圓周率的第一要件是先求圓周的長度。

(2)祖沖之繼續計算圓周率

祖沖之非常佩服劉徽這個科學方法，但劉徽的圓周率只算到96邊，得圓周率3. 14的結果後就沒有再算下去，祖沖之決心按劉徽開創的方法繼續走下去，一步一步地計算出192邊形、 384邊形……以求得更精確的結果。

祖沖之先在房間地板土地畫了個直徑為一丈的大圓，又在圓內畫了正六邊形，然後開始計算起來。

這時祖沖之13歲的兒子祖暅，也幫著父親一起工作，兩人廢寢忘食地計算了十幾天才算96邊，卻發現結果圓周比劉徽的少 0.000002丈。祖暅說：「我們算得很仔細，一走投錯，可能是劉徽錯了。」祖沖之卻搖搖頭說:「要推翻他一定要有科學依據。」

祖沖之和祖暅花了十幾天時間重新計算了一遍，結果表明劉徽是對的。祖沖之為避免再出差錯，以後每一步都至少重複計算兩遍，直到二次結果完全相同才罷休。

(3)算出圓周率至小數點7位數

祖沖之終於算到12288邊形·再算到24576邊形，兩者圓周相差僅0.0000001。祖沖之知道從理論上講，還可以繼續計算下去，但實際上他已無法計算了，只好就此停止。從而得出圓周率必大於3.1415926而小於3.1415927。

祖沖之計算圓周率的輝煌成績，傳出去，大家紛紛登門道賀。之後，祖沖之又進一步得出圓周率的密率是355/113，約率22/7。他是世界上第一個算出這樣精密圓周率的人，這種精密度直到1000多年後，德國數學家鄂圖才得出相同的結果。

(4) 將計算方法及成果編入《綴術》

祖沖之又把自己在計算圓周率中的算法、體會以及平時對數學的研究成果綜合起來，編了一本書，叫做《綴術》內容非常深奧，曾被唐朝規定作為"十部算經"之一，後來傳到朝鮮、日本，可惜在宋朝中葉以後這部著作失傳了。