柏拉图(9)〈古时候最伟大的哲学和数学导师〉江铭辉 五梦网

(九)引入“分析”及“综合”观念

分析是推理论证的一种方法，它是根据我们所要证明的结果出发，先把它认为当然，从而往前倒推至已知条件。这种分析步骤，我们也称为“倒推解法”。综合则与分析相反，我们倒转分析步骤，从分析最后达到的那一点开始，即从完全已知或公认为真的事实开始，到问题所要求的结果为止。这个步骤我们叫做综合。

分析推理的时机有两种：一种是对问题的证明作分析，证出定理；一种是对日常问题求解分析，求得未知数。

1.  证明题之分析方法

假使我们想要证明或否定一个定理A。我们先从A导出B，又从B导出C，如此继续下去，直至最后得到一个我们所确知的定理M为止。反过来说如果M为真，而且我们的一切步骤又都是可逆的，则A也同样为真。换言之，从M是真的开始推出L、K也是真的……C, B, A都是真的，这样我们就达到目的。但若M是伪的，我们当然也可用倒推法得知A亦为伪。

例如：设2θ为锐角，试证明sin 2θ＜2 sinθ。

为了证明sin 2θ＜2 sinθ关系成立……(A)

我们先将(A)变形为2sinθ cosθ＜2 sinθ关系成立…(B)

因为θ为锐角，sin θ＞0，且已知cosθ＜1……(C)

所以sin 2θ＜2 sinθ

按上述分析方法我们可得到“设2θ为锐角，试证明

sin 2θ＜2 sinθ”的证明步骤，其方法如下：

因为cosθ＜1，sinθ＞0……(C)

所以2sinθ cosθ＜2 sinθ关系成立……(B)〔将(C)两边各乘2sinθ＞0〕

所以sin 2θ＜2 sinθ……(A)

本例题得到证明。

2.  日常生活碰到的分析法：

日常生活中，我们也常常用到分析方法来解决问题，譬如：我们分析找出下列问题的答案：“两只杯子，一只可装9公升，另一只可装4公升，怎样才可从水槽取出刚好6公升的水？”

(1) 让我们用分析方法，先从结论（杯子已装好6公升）开始。

（2） 如何得到杯 中6公升的水，我们若把A杯装满水9公升，B杯装1公升水，再将A倒到B，就可得到A杯水是6公升。

(3)因此前提是 如何将B杯装1公升之水，当然是从A杯倒1公升之水给B杯。

(4) 如何将A杯只装1公升之水，我们发现首先A杯装满9公升水，再将A杯倒水给B杯两次。则A杯就剩下1公升之水了 。

　　经由上述之分析，我们推演如下：

　　　A:9　　B:0（A装水9公升）

　　　A:5　　B:4（A倒水给B）

　　　A:5　　B:0（再把B的水倒掉）

　　　A:1　　B:4（A倒水给B）

　　　A:1　　B:0（把Ｂ的水倒掉）

　　　A:0　　B:1（A倒水给B）

　　　A:9　　B:1（A重新到水槽取9公升的水）

　　　A:6　　B:4（A倒水给B）

　　　A:最后只剩下6公升的水。

柏拉图最大的成就之一，便是使用分析来证明问题，他不只是在证明几何时使用，对于一般性非数学问题他也经常用到。柏拉图之后，致力于分析和综合工作的古希腊数学家有：欧几里德（Euclid）、阿波罗尼奥斯（Appolonius）、阿里斯塔修斯（Aristarchus of Samos）。