柏拉圖(10)〈古時候最偉大的哲學和數學導師〉江銘輝五夢網

(十)引入歸納法和反證法：

(1)      歸納法與數學歸納法：

歸納法是根據許多試驗或觀測的數據推理得出一般的結論。例如：方程式2x－y＋3＝0，x＋2y＋4＝0，7x＋8y＋3＝0……等等，它們在直角座標系中皆為直線，我們依據此現象推論所有如ax＋by＋c＝0都是直線。用歸納法得出的結論可能是正確的，也可能是錯誤的。

例如，我們看到連續5天出太陽，就預測明天仍然出太陽，但實際上，可能出太陽。

(2)   反證法

反證法是一種重要的證明方法，它不直接證明問題，而是先假設問題“否定的結論”成立，再證明這個“否定的結論”與已知的定理或命題的條件互相矛盾，如此可推論命題成立。換言之，要證明"若P則q"的命題，我們先假設命題的已知條件P及結論的否定為真，然後從P和 中，推出P和 同時成立時，它們會有矛盾結果，如此可證明“若P則q”的命題成立。

例如：設a₁, a₂……a₈都是正數，且

a₁＋a₂＋……＋a₈＝20……(1)

a₁×a₂×a₃……×a₈＝12……(2)

求證：a₁,a₂……,a₈中至少有一個數小於1。

證明：假定a₁, a₂……a₈都不小於1，即a_i≧1，（i＝1,2……8）

則可設 ， （i＝1, …8）……(3)

由(1), (3)式得

b₁+b₂+……+b₈ =20-8=12

又由(2)式知：

a₁×a₂×……a₈＝(1＋b₁)(1＋b₂)＋……(1＋b₈)

≧1＋b₁＋b₂＋……＋b₈＝13……(4)

顯然(4)式與已知條件(2)相矛盾。因此，a₁，a₂，……a₈中至少有一個數小於1。

最早使用歸納法和反證法的是柏拉圖及與他同時代畢達哥拉斯學派的希波克拉底斯（Hippocrates），柏拉圖學派的弟子歐幾里德（Euclid）及尤多克薩斯（Eudoxus of Cnidus）都是使用“反證法”的頂尖高手。事實上歐幾里德的〈幾何原本〉著作中便常見到反證法。

(十一)柏拉圖正多面體

   正多面體共有五種統稱為柏拉圖正多面體，它們雖然不是柏拉圖發現的，但是卻由柏拉圖首先提出來的。前三種屬於畢達哥拉斯學派發現的，後兩種，即正八面體及正十二面體是他的學派成員〈泰特托斯〉（Theaetetus）發現的。柏拉圖對於五種正多面體作了描述。他說：四面體、八面體、二十面體及六面體分別構成火、土、氣、水四種基本元素，而正十二面體則是構成天上物質的精英（如圖8）。

圖8：柏拉圖首先對五種正多面體作了描述，並將這五種多面體與火、地、氣、水、宇宙聯系在一起

這個思想，後來被大天文學家克卜勒（J. Kepler）應用在行星繞太陽的規道。1596年，年僅25歲的克卜勒發表了〈宇宙的神秘〉一書，該書構想十分奇特，書中提出一種看法。

他巧妙將5種正多面體配合6個行星（當時僅知道五大行星和地球），將這6個行星的軌道所在的球面正好順次“外接和內切”這5種正多面體，即任意兩相鄰行星之間都存在著一種正多面體，其外接球代表外面那顆行星的軌道大小，而其內切球代表裡面那顆行星的軌道大小（圖 9）。他認為它們之間的關係是：水星〈正八面體〉金星〈正二十面體〉地球〈正十二面體〉火星〈正四面體〉木星〈正立方體〉土星。

經計算後，克卜勒設想的這些外接球和內切球的半徑之比確實與各行星到太陽的距離比符合得很好。克卜勒認為他已找到了行星距離規律的金鑰匙。

〈宇宙的神秘〉出版後，克卜勒把它寄贈給當時許多有名的天文學家，如伽利略（Galileo Galilei），弟谷（Tycho Brahe）等人，弟谷讀了此書後，讚賞克卜勒用正多面體來闡明行星距離關係的努力是一種聰明又能自圓其說的奇想。儘管他本人並不同意這一見解，但卻很欣賞克卜勒的才華。後來克卜勒成為弟谷的得意助手，弟谷也將他畢生觀察天文的資料遺留給他，使他發現了行星運動三大定律。

圖9：克卜勒用5種正多面體的外接球與內切球來描述行星到太陽的距離關係，贏得弟谷的讚賞。