柏拉圖(9)〈古時候最偉大的哲學和數學導師〉江銘輝五夢網
(九)引入“分析”及“綜合”觀念
分析是推理論證的一種方法，它是根據我們所要證明的結果出發，先把它認為當然，從而往前倒推至已知條件。這種分析步驟，我們也稱為“倒推解法”。綜合則與分析相反，我們倒轉分析步驟，從分析最後達到的那一點開始，即從完全已知或公認為真的事實開始，到問題所要求的結果為止。這個步驟我們叫做綜合。
分析推理的時機有兩種：一種是對問題的證明作分析，證出定理；一種是對日常問題求解分析，求得未知數。
1. 證明題之分析方法
假使我們想要證明或否定一個定理A。我們先從A導出B，又從B導出C，如此繼續下去，直至最後得到一個我們所確知的定理M為止。反過來說如果M為真，而且我們的一切步驟又都是可逆的，則A也同樣為真。換言之，從M是真的開始推出L、K也是真的……C, B, A都是真的，這樣我們就達到目的。但若M是偽的，我們當然也可用倒推法得知A亦為偽。
例如：設2θ為銳角，試證明sin 2θ＜2 sinθ。
為了證明sin 2θ＜2 sinθ關係成立……(A)
我們先將(A)變形為2sinθ cosθ＜2 sinθ關係成立…(B)
因為θ為銳角，sin θ＞0，且已知cosθ＜1……(C)
所以sin 2θ＜2 sinθ
按上述分析方法我們可得到“設2θ為銳角，試證明
sin 2θ＜2 sinθ”的證明步驟，其方法如下：
因為cosθ＜1，sinθ＞0……(C)
所以2sinθ cosθ＜2 sinθ關係成立……(B)〔將(C)兩邊各乘2sinθ＞0〕
所以sin 2θ＜2 sinθ……(A)
本例題得到證明。
2. 解題之分析方法：
假使我們有一個求解題目，必須求出一個滿足所指定條件的未知數。首先，我們還不知道此問題是否有解；但我們可先假定有一個X滿足所說的條件，再從此導出了另一個必須滿足有關條件的未知數y；然後我們又將y與另一未知數連起，如此繼續下去，直到最後得到一個未知數Z滿足所說的條件，假設我們的步驟是可逆的，往前倒推，則必然可求到一個X它能滿足原條件。如果分析結果沒有可以滿足Z所應有的條件，那麼問題的X也就沒有答案了。
例如：求X滿足方程式
（9x+9-x）-4(3x+3-x)＋6＝0……(1)
這個問題聰明的讀者可一眼看出來X＝0是解答，但直接,去解這個問題可就不太容易求出解答，除非他熟悉分析的觀念，首先他得看出9x =(3x )2，9-x =(3-x )-2，即必須找到了滿足(1)式的未知數x的相關數y（y=3x），將它代入(1)式，得：
（y2+1/ y2）-4(y+1/y)+6=0……(2)
至此，我們已將(1)式簡化為(2)式了，但我們的工作還未完畢，必須再找另一個未知數Z，使(2)式再簡化，我們找到了這樣一個數z，z= y+1/y，將Z代入(2)式得
z2-4z+4=0……(3)
得(z-2)2=0，z=2
上述是分析方法，接下我們從已得到的分析結果，一步一步地實行那些已被分析的步驟，往前推演。推演的順序和分析的順序剛好相反，它最初先得出Z（Z＝2），然後是Y（Y＝＋1，－1），最後才是原來需求的答案，X＝0。
3. 日常生活碰到的分析法：
日常生活中，我們也常常用到分析方法來解決問題，譬如：我們分析找出下列問題的答案：“兩只杯子，一只可裝9公升，另一只可裝4公升，怎樣才可從水槽取出剛好6公升的水？”
(1) 讓我們用分析方法，先從結論（杯子已裝好6公升）開始。
（2） 如何得到杯 中6公升的水，我們若把A杯裝滿水9公升，B杯裝1公升水，再將A倒到B，就可得到A杯水是6公升。
(3)因此前提是 如何將B杯裝1公升之水，當然是從A杯倒1公升之水給B杯。
(4) 如何將A杯只裝1公升之水，我們發現首先A杯裝滿9公升水，再將A杯倒水給B杯兩次。則A杯就剩下1公升之水了。
經由上述之分析，我們推演如下：
A:9 B:0（A裝水9公升）
A:5 B:4（A倒水給B）
A:5 B:0（再把B的水倒掉）
A:1 B:4（A倒水給B）
A:1 B:0（把Ｂ的水倒掉）
A:0 B:1（A倒水給B）
A:9 B:1（A重新到水槽取9公升的水）
A:6 B:4（A倒水給B）
A:最後只剩下6公升的水。
柏拉圖最大的成就之一，便是使用分析來證明問題，他不只是在證明幾何時使用，對於一般性非數學問題他也經常用到。柏拉圖之後，致力於分析和綜合工作的古希臘數學家有：歐幾里德（Euclid）、阿波羅尼奧斯（Appolonius）、阿里斯塔修斯（Aristarchus of Samos）。