柏拉圖(8)〈古時候最偉大的哲學和數學導師〉江銘輝五夢網

(五)重視演繹法

從若干個判斷出發來獲得一個新判斷的邏輯方法叫做推理，其中作為推理根據的判斷叫做前提，從中得出的新判斷。推理通常分演繹、歸納和類比三種。以一般情形的判斷作為前提，特殊情形的判斷作為結論的推理叫做演繹推理。例如：任一自然數，若其數字之和是3的倍數，則此數也是3的倍數（前提：一般情形），今自然數456數字之和4+5+6=15是3的倍數，因此456是3的倍數（結論：特殊情形）。

演繹推理法是由泰爾斯（Thales）所創，柏拉圖進一步強調其重要性，再經亞理斯多德（Aristotle）系統化，建立起邏輯學，歐幾里德（Euclid）的名著〈幾何原本〉是演繹數學體系最早、最完整的典範。

柏拉圖的重視演繹法，可由下述知曉：

柏拉圖在〈理想國〉第6章說：「研究幾何、算術的人，首先要假定奇數、偶數、三種類型的角及各學科中諸如此類的東西是已知的……，他們從這些假設出發，往下推論，直至最後得出他們的結論。」這段話說明，從一些公認的假設出發進行演繹證明在當時已被數學家們普遍接受，並受到柏拉圖的贊美。事實上柏拉圖十分重視純推理的演繹法，並強調用直尺和圓規推理幾何學的重要。根據普魯塔克（Plutarch）的記述。當柏拉圖聽說他的弟子尤多克薩斯（Eudoxus）用機械工具來解決“立方倍積”的幾何作圖問題時，憤憤地抨擊說：「這種方法，只能導致幾何學背離了抽象推理，求助於物質。」柏拉圖這種純理性的推理，對於往後歐幾里德幾何的公理演繹體系幫助極大，但其副作用也很大，古希臘的實驗科學和機械學受到哲學家的漠視，以致長期處於相對落後的狀態。

(六)給幾何的概念、公理明確闡述

柏拉圖及其學生亞里斯多德繼承前輩泰爾斯（Thales）和畢達哥拉斯（Pythagoras）的幾何學傳統，對幾何學的系統化和論證做出很大貢獻。

他們開始給出幾何的定義和公理，例如：“等量減等量其差相等”；“點是直線的開端”或“點是不可割的線”；“線是無寬度的長它是面的界限”，“面是體的界限”……等等。幾何學被奠定在邏輯的基礎上，柏拉圖功不可沒。歐幾里德的許多定義和公理都由此做基礎再出發。

(七)發展立體幾何學

柏拉圖也推動了立體幾何學的發展，這門學問，在他之前長期被希臘數學家所忽視，他的學派研究了棱柱、圓柱等，並證明了立體幾何學中的許多定理。

(八) 柏拉圖與立方倍積的故事

在厄拉托西尼（Eratosthenes）的一本書中記載有：

西元前四百年左右，瘟疫蹂躝著整個希臘。愛琴海中第羅斯（Delos）島上瘟疫尤其厲害，到處充滿著失去親人的哀號和病人的呻吟交織聲，可說一片淒涼。於是人們祈求太陽神〈阿波羅〉卻除瘟疫。阿波羅神廟的負責人對禱告的眾人說：「奉阿波羅神諭：要去除瘟疫，須把神殿前立方體的祭壇體積增大到原來的兩倍，祂就會免除你們的災難，保佑你們。」

眾生聽了廟祝的話，趕緊日以繼夜地改造神廟的祭壇，把祭壇每邊擴充到原來的兩倍，很快就把祭壇重新建好了。

新的祭壇雖然已改造完畢，瘟疫不但仍在橫行，而且更加猖獗，眾生大惑不解。於是焦急的長老，趕快去請教著名的哲學家兼數學家〈柏拉圖〉請教神諭不靈的原因，他們不是已按照神諭將祭壇改造了嗎？柏拉圖與眾人到了新祭壇，一望之下，柏拉圖立刻指出祭壇造形出了問題，他說：「你們弄錯了，誰叫你們把祭壇每邊擴大二倍，這樣體積不就成為原來的八倍了嗎？神當然更生氣了。」這時大家才怳然大悟。那麼若要使體積成為二倍，各邊要增加多少？這就是古希臘著名的三大作圖難題中的立方倍積問題。從此以後，立方倍積問題也叫第羅斯問題。自它出現後，二千多年來，吸引許多數學家前赴後繼不斷地研究。後來法國數學家萬釆爾（P. L. Wantzel）於1837年證明了根據尺、規作圖準則，無法作出。