高斯(5)〈数学王子〉   江铭辉  五梦网

十四、发现非欧几何

1816年，高斯发现欧几理德第五公设的矛盾，也发现第五公设不能证明，他于是研究了非欧几何，发展一个非欧几何体系。但是高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果，只是在书信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出来公开。

欧几理德几何学最脍炙人口的地方有二点：

1.三角形的三个内角和等于180度。

2.过已知点，仅能划一直线与另一已知线平行。

 不错，在直觉上或在一张白纸上作图，我们会发现“三角形的内角和等于180度”，“过线外一点仅能划一直线与此线平行”。但是有些事情，直觉上是对的，可是在某些场合却不能适用，例如（图3-b）有两人分别从地球赤道的两点（O及O'）向北极划两条并行线。虽然这两个人至始至终都将两条线保持平行，但是毫无疑问的，这两条并行线相交于北极PP'点，同时所形成的三角形OO'PP'之三个内角和也大于180度。如果这两个人在平面纸上，划OP和O'P'两平行直线，则两条直线绝不相交（图3-a）。

图3-a：在平面上划两条并行线    图3-b：在球面上划两条并行线

图3：在平面纸上OP和O'P'两直线是平行的绝不相交，但在球面上两条由不同点出发的两条直线虽然始终是保持平行的，但最后却相交。

欧几里得几何和非欧几何的差别在于第五公设，欧几里得几何的五个公设是：

1.  由任意一点到任意一点可作直线。

2.  一条有限直线可以继续延长。

3.  以任意点为心及任意的距离可以画圆。

4.  凡直角都相等。

5.同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。

1817年，四十岁的高斯在给他朋友奥斯柏斯的信上写道:「我日益深信，我们几何中需要证明的部分是不能证明的。」又过了七年(1824年)，他在给另一位朋友托里努斯的信中说:「三角形的三内角之和小于180°，同时通过一直线外的一点，可以作二条以上的直线与这直线平行。

高斯用新奇的几何思想去摇撼欧氏几何这棵大树，这在当时的社会是不能允许的。

当时的欧洲是"政教合一"，教廷控制着许多国家，势力极大，猖獗一时。凡是触犯神权统治的人都要惨遭迫害，甚至被活活烧死。伟大的哥白尼因创立日心说"而遭受残酷迫害。

1.   非欧几里德的二种体系

由于欧几理德几何学有上述的缺点，长期以来，就有数学家对欧几理德   的五个公设，特别是对于第五公设的“平行公设”产生怀疑。认为它可以由其他公设或公理来证明，但是数千年来没有人成功。最后在高斯（C.F. Gauss）、波耶（J. Bolyai）、罗巴切夫斯基（N.I. Lobatschewsky）及黎曼（G.F.B. Riemann）等人的努力下，发现欧几理德的第五条公设，可用别的公设来取代，或另立一种阐新的几何架构，这就是所谓“非欧几理德几何学”（简称为非欧几何）。这几个人的理论和最可区分为二三种几何体系，他们分别是：

(1) 高斯、波耶、罗巴切夫斯基（图4）之非欧几何：即

● 过一直线外一点，有无限多条并行线平行此已知直线。

● 三角形之三内角和小于180度。

图4：罗巴切夫斯基的几何体系：三角形之三内角和小于180度，过线外一点，有无限多条并行线平行此已知直线。

(2)黎曼（图5）非欧几何

● 过直线外一点，不能作出一条平行此已知直线的直线，因为此两条直线最后会相交。

● 三角形之三内角之和大于180度。

图5：黎曼的几何体系：三角形之三内角和大于180度，过线外一点，不能作出一条直线，平行此已知直线。