高斯(5)〈數學王子〉   江銘輝  五夢網

十四、發現非歐幾何

1816年，高斯發現歐幾理德第五公設的矛盾，也發現第五公設不能證明，他於是研究了非歐幾何，發展一個非歐幾何體系。但是高斯害怕這種理論會遭到當時教會力量的打擊和迫害，不敢公開發表自己的研究成果，只是在書信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出來公開。

歐幾理德幾何學最膾炙人口的地方有二點：

1.三角形的三個內角和等於180度。

2.過已知點，僅能劃一直線與另一已知線平行。

 不錯，在直覺上或在一張白紙上作圖，我們會發現“三角形的內角和等於180度”，“過線外一點僅能劃一直線與此線平行”。但是有些事情，直覺上是對的，可是在某些場合卻不能適用，例如（圖3-b）有兩人分別從地球赤道的兩點（O及O'）向北極劃兩條平行線。雖然這兩個人至始至終都將兩條線保持平行，但是毫無疑問的，這兩條平行線相交於北極PP'點，同時所形成的三角形OO'PP'之三個內角和也大於180度。如果這兩個人在平面紙上，劃OP和O'P'兩平行直線，則兩條直線絕不相交（圖3-a）。

圖3-a：在平面上劃兩條平行線    圖3-b：在球面上劃兩條平行線

圖3：在平面紙上OP和O'P'兩直線是平行的絕不相交，但在球面上兩條由不同點出發的兩條直線雖然始終是保持平行的，但最後卻相交。

歐幾里得幾何和非歐幾何的差別在於第五公設，歐幾里得幾何的五個公設是：

1.  由任意一點到任意一點可作直線。

2.  一條有限直線可以繼續延長。

3.  以任意點為心及任意的距離可以畫圓。

4.  凡直角都相等。

5.同一平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側的兩個內角的和小於兩直角，則這兩直線經無限延長後在這一側相交。

1817年，四十歲的高斯在給他朋友奧斯柏斯的信上寫道:「我日益深信，我們幾何中需要證明的部分是不能證明的。」又過了七年(1824年)，他在給另一位朋友托里努斯的信中說:「三角形的三內角之和小於180°，同時通過一直線外的一點，可以作二條以上的直線與這直線平行。

高斯用新奇的幾何思想去搖撼歐氏幾何這棵大樹，這在當時的社會是不能允許的。

當時的歐洲是"政教合一"，教廷控制著許多國家，勢力極大，猖獗一時。凡是觸犯神權統治的人都要慘遭迫害，甚至被活活燒死。偉大的哥白尼因創立日心說"而遭受殘酷迫害。

1.   非歐幾里德的二種體系

由於歐幾理德幾何學有上述的缺點，長期以來，就有數學家對歐幾理德   的五個公設，特別是對於第五公設的“平行公設”產生懷疑。認為它可以由其他公設或公理來證明，但是數千年來沒有人成功。最後在高斯（C.F. Gauss）、波耶（J. Bolyai）、羅巴切夫斯基（N.I. Lobatschewsky）及黎曼（G.F.B. Riemann）等人的努力下，發現歐幾理德的第五條公設，可用別的公設來取代，或另立一種闡新的幾何架構，這就是所謂“非歐幾理德幾何學”（簡稱為非歐幾何）。這幾個人的理論和最可區分為二三種幾何體系，他們分別是：

(1) 高斯、波耶、羅巴切夫斯基（圖4）之非歐幾何：即

● 過一直線外一點，有無限多條平行線平行此已知直線。

● 三角形之三內角和小於180度。

圖4：羅巴切夫斯基的幾何體系：三角形之三內角和小於180度，過線外一點，有無限多條平行線平行此已知直線。

(2)黎曼（圖5）非歐幾何

● 過直線外一點，不能作出一條平行此已知直線的直線，因為此兩條直線最後會相交。

● 三角形之三內角之和大於180度。

圖5：黎曼的幾何體系：三角形之三內角和大於180度，過線外一點，不能作出一條直線，平行此已知直線。