高斯(3)〈数学王子〉 江铭辉 五梦网
九、作出正十七边形
古希腊人研究几何作图问题，限制只能用直尺和圆规当作图的工具。所谓直尺就是没有刻度只能画任意长直线的尺，圆规也没不能划圆的大小，只能画圆或圆弧。
几何学中的「标尺作图」问题，一直吸引着数学家。从古希腊的欧几里德，到后来的许多著名数学家，他们用圆规和直尺做出了正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形、正十五边形等等，可是一直做不出正七边形、正九边形、正十一边形、正十三边形、正十七边形。这些正多边形中，多数边数都是质数。于是，数学家就猜想．凡是边数为质数的正多边形，用圆规和直尺是做不出来的．但谁也无法说明其原因。许多数学家认为这个问题确实是难于上青天。
高斯知道了这个问题以后，立即产生了兴趣，他日夜思考，反复实验。1796年3月30日，十九岁的高斯完全出乎数学家们的意料，用圆规和直尺把正十七边形做了出来，解决了二千年来的一大难题，轰动了当时的数学界。
五年后他又证明下列的边数可以作出正多边形。即：
1. n＝2m
2. n＝P＝ 
，P是质数
3.n＝2mP1P2P3……Pk Pi是 形的质数。
根据高斯判别法，100边形以下可用尺边作图的，只有24个，它们如下表：
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n的形状
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用标尺能作的正多边形
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2m
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4、8、16、32、64
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3、5、17、
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2mP1P2P3……Pk
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6、12、24、48、96
10、20、40、80
34、68
15、30、60
51
85
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从上表得知，100边形以下，正17边形可以划出，但正7边形、正9边形、正11边形、正13边形、正14边形没有办法划出。
根据高斯的判别法可作图的正257边形、正65537边形，于是1832年利克罗作出了正257边形，作图步骤竟写80多页;继而德国赫姆斯耗费了10年心血作出了正65537边形，仅手稿就装了满满一手提箱。
十、博士论文
高斯在哥廷根大学毕业后赴 赫姆斯达特(Helmstedt) 大学作研究取得博士学位(1799年7月16日)，论文便是「代数学的基本定理」（早年法国人 达‧阿勒伯特(d'Alembert) 证过它，但证明不全）。
高斯思考问题，总比别人站得更高更远。那时候一元一次到一元四次方程的根都已经求出，人们正在求一元八次方程的根。高斯却想:几百年来，数学家们都认为代数方程都有根，却没有证明过这一点。高斯又投人了艰苦的探索。
1799年，高斯22岁，交出第一篇博士论文，这论文证明代数上一个重要的定理：「任何一元代数方程都有解(根)」。这定理在数学界被称作<代数基本定理>，证明过程中他一直避免使用复数，当时数学家仍为复数争议不休。后来，他陆续找出三个证明的方法，最后一个证明是在他庆祝获得博士学位五十周年时发现的，这时他已公开运用复数了，因为这时大家都认清楚复数了。事实上在高斯同时期也有许多数学家认为已给出了这个结果的证明，可是却没有一个证明是够严密的，高斯是第一个数学家给出严密无误的证明，高斯认为这个定理是很重要的，在他一生中给了<代数基本定理>四个不同的证明。
十一、回到故乡布伦威克
高斯1799年获得博士学位后，回到布伦威克，布伦威克公爵同意继续赞助高斯，他要求高斯提交博士论文，给赫尔姆施泰特大学( University of Helmstedt)。