高斯(3)〈數學王子〉 江銘輝 五夢網
九、作出正十七邊形
古希臘人研究幾何作圖問題，限制只能用直尺和圓規當作圖的工具。所謂直尺就是沒有刻度只能畫任意長直線的尺，圓規也沒不能劃圓的大小，只能畫圓或圓弧。
幾何學中的「尺規作圖」問題，一直吸引著數學家。從古希臘的歐幾裡德，到後來的許多著名數學家，他們用圓規和直尺做出了正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形、正八邊形、正十邊形、正十五邊形等等，可是一直做不出正七邊形、正九邊形、正十一邊形、正十三邊形、正十七邊形。這些正多邊形中，多數邊數都是質數。於是，數學家就猜想．凡是邊數為質數的正多邊形，用圓規和直尺是做不出來的．但誰也無法說明其原因。許多數學家認為這個問題確實是難於上青天。
高斯知道了這個問題以後，立即產生了興趣，他日夜思考，反覆實驗。1796年3月30日，十九歲的高斯完全出乎數學家們的意料，用圓規和直尺把正十七邊形做了出來，解決了二千年來的一大難題，轟動了當時的數學界。
五年後他又證明下列的邊數可以作出正多邊形。即：
1. n＝2m
2. n＝P＝ 
，P是質數
3.n＝2mP1P2P3……Pk Pi是 形的質數。
根據高斯判別法，100邊形以下可用尺邊作圖的，只有24個，它們如下表：
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n的形狀
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用尺規能作的正多邊形
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2m
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4、8、16、32、64
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3、5、17、
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2mP1P2P3……Pk
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6、12、24、48、96
10、20、40、80
34、68
15、30、60
51
85
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從上表得知，100邊形以下，正17邊形可以劃出，但正7邊形、正9邊形、正11邊形、正13邊形、正14邊形沒有辦法劃出。
根據高斯的判別法可作圖的正257邊形、正65537邊形，於是1832年利克羅作出了正257邊形，作圖步驟竟寫80多頁;繼而德國赫姆斯耗費了10年心血作出了正65537邊形，僅手稿就裝了滿滿一手提箱。
十、博士論文
高斯在哥廷根大學畢業後赴 赫姆斯達特(Helmstedt) 大學作研究取得博士學位(1799年7月16日)，論文便是「代數學的基本定理」（早年法國人達‧阿勒伯特(d'Alembert) 證過它，但證明不全）。
高斯思考問題，總比別人站得更高更遠。那時候一元一次到一元四次方程的根都已經求出，人們正在求一元八次方程的根。高斯卻想:幾百年來，數學家們都認為代數方程都有根，卻沒有證明過這一點。高斯又投人了艱苦的探索。
1799年，高斯22歲，交出第一篇博士論文，這論文證明代數上一個重要的定理：「任何一元代數方程都有解(根)」。這定理在數學界被稱作<代數基本定理>，證明過程中他一直避免使用複數，當時數學家仍為複數爭議不休。後來，他陸續找出三個證明的方法，最後一個證明是在他慶祝獲得博士學位五十週年時發現的，這時他已公開運用複數了，因為這時大家都認清楚複數了。事實上在高斯同時期也有許多數學家認為已給出了這個結果的證明，可是卻沒有一個證明是夠嚴密的，高斯是第一個數學家給出嚴密無誤的證明，高斯認為這個定理是很重要的，在他一生中給了<代數基本定理>四個不同的證明。
十一、回到故鄉布倫威克
高斯1799年獲得博士學位後，回到布倫威克，布倫威克公爵同意繼續讚助高斯，他要求高斯提交博士論文，給赫爾姆施泰特大學( University of Helmstedt)。