厄拉托西尼(3)〈歷史上第一位測量地球圓周的人〉江銘輝 五夢網

(三)  關於古希臘三大幾何難題的“立方倍積”問題

(1) 立方倍積的故事

在厄拉托西尼的一本書中記載：

西元前四百年左右，瘟疫蹂躝著整個希臘。愛琴海中第羅斯（Delos）島上，瘟疫尤其厲害，到處充滿著失去親人的哀號和病人的呻吟交織著，情況可說一片淒涼。於是人們祈求太陽神〈阿波羅〉卻除瘟疫。阿波羅神廟的負責人對禱告的眾人說：「奉阿波羅神諭：要去除瘟疫，須把神殿前立方體的祭壇體積增大到原來的兩倍，祂就會免除你們的災難，保佑你們。」

眾生聽了廟祝的話，趕緊日以繼夜地改造神廟的祭壇，把祭壇每邊擴充到原來的兩倍，很快就把祭壇蓋好了。

新的祭壇雖然已改造完畢，瘟疫不但沒有消弭仍在橫行而且更加猖獗，眾生大惑不解。於是焦急的長老趕快去請教著名的哲學家兼數學家〈柏拉圖〉（Plato）不靈的原因。柏拉圖與眾人來到新祭壇，一看之下，柏拉圖說：「你們都弄錯了，誰叫你們把祭壇每邊擴大二倍，這樣體積不就成為八倍了嗎﹖神當然更生氣了。」這時大家才恍然大悟。那麼若要使體積成為二倍，各邊要增加多少﹖這就是古希臘著名的三大作圖難題的其中一題，另外二個難題是：“三等分任意角”，“作一正方形使其面積等於一已知圓”。這三大難題數千年來，多少專家或俗卒，費盡苦心，都無法求其解，如今已證明這三大難題根本用直尺和圓規無法得到解答。

(四)    厄拉托西尼用機械製圖方法解決“立方倍積”問題

雖然今日已證明用圓規和直尺跟本無法解決古希臘的“立方倍積”問題，但厄拉托西尼在當時仍設計了一套工具，用機械式的製圖方法，解決了立方倍積問題。他解決了這個問題後，作了一個碑獻給埃及國王托勒密三世，上面鑄了他的成果，拍國王的馬屁。當然，機械式的解法是不合乎直尺與圓規作圖的規定。

    圖8：厄拉托西尼求比例中項的工具

厄拉托西尼的解法如下：

厄拉托西尼設計了一個機械的“求比例中項的工具”，這個工具包含一個長方形框子，框上有三層滑溝，分別放了三個相等的長方形板子，板子上面畫好對角線（如圖8）。

假定三塊板子在框子滑動，第一塊板子保持不動，第二塊板子滑到第一塊的下面，第三塊板子滑到第二塊的下面。假定板子像圖13所示那樣滑動，使AF=2a、DI=a，點A、B、C、D成一直線。連接A、B、C、D成一直線並交FQ於E點。由相似三角形理論，得：

HE/GE＝BE/AE＝GE/FE…………(1)

BG/AF＝GE/FE…………(2)

CH/BG＝HE/GE…………(3)

由(1)(2)(3)得CH/BG＝BG/AF

同理　DI/CH＝CH/BG

令CH＝x，BG＝y我們得：

a/x＝x/y＝y/2a

即x²＝ay，xy＝2a²（這是x與y為長度，a與a²之二比例中項）

將y＝x²/a代入xy＝2 a² 得：

x(x²/a )＝2 a²

即x³＝2 a³

因此若a為一已知立方體之邊長，則邊長x之正立方體的體積為原來之兩倍。(圖9)

圖9：厄拉托西尼設計求比例中項工具的解法

(五) 計算太陽直徑

埃拉托西尼也計算了太陽的直徑。據馬告羅比奧斯說(Macrobious)：埃拉托西尼計算出太陽的直徑約為地球的27倍，但實際上大約是109倍。

(六)  解釋為什麼尼羅河洪水

他是第一人解釋為什麼尼羅河每年會氾濫，每年 – 因為每年季節性的降雨嚴重落在靠近尼羅河的起源地方，導致每年尼羅河的洪水。

(七) 人是平等的

當時希臘人是世界的主宰，他拒絕了普遍的人，持有的觀點，即人們分為“希臘人”和“野蠻人”。他認為，人應該從好的和壞的品質來判斷。