芝诺(3)〈芝诺悖论〉
空间随时间而变
这是生活在时间和空间互不相干的三度空间的人类皆会感受得到的自然结果。但是如果在空间随时间变化的四度空间世界里，譬如爱因斯坦的四度空间理论，也许阿基利斯就真的追不到海龟了。我们用下面二个例子来解释：
(a) 阿基利斯如何在橡皮跑道拿到苹果？
如图6，阿基利斯在橡皮跑道的一端，橡皮跑道长100公尺，他奉令要跑到橡皮跑道的一端拿金苹果。阿基利斯以每秒10公尺的稳定速度沿橡皮跑道往前急奔，但在1秒钟之后，橡皮跑道就像橡皮筋一样拉长为200公尺，再过一秒钟后，它又拉长为300公尺，如此下去，阿基利斯最后究竟会不会拿到金苹果呢？
图6：阿基利斯可否拿到100公尺以外的金苹果？
根据直觉你会说，阿基利斯拿不到金苹果，可是我们说：他可办到。解决这个问题的关键是橡皮跑道的伸长是均匀的，在橡皮跑道伸长时，阿基利斯也随着橡皮的拉伸向前挪移了。因此：在第一秒内，阿基利斯跑了10公尺为橡皮跑道长度的1/10，在第二秒内阿基利斯又在长度为200公尺的橡皮跑道跑了1/20，第三秒内，他又跑了300公尺橡皮跑道的1/30，如此继续的跑，假设橡皮跑道最后的长度是S，则阿基利斯的全部跑程是：
（1/10+1/20+1/30+1/40……）S=1/10（1+1/2+1/3+1/4……）S
（1+1/2+1/3+1/4……1/n……是调和级数，它的“和”，我们要它多大，就可以有多大，所以我们说阿基利斯在n秒时，可拿到金苹果，即：
1/10（1+1/2+1/3+1/4+……1/n +……）S≧S
1+1/2+1/3+1/4+……1/n +……≧10
1+1/2+1/3+1/4+……1/n +……的和在n非常大时是㏒n所以只要㏒n=10 即 n=e10=22027（秒）时阿基利斯可以拿到金苹果。
(b)阿基利斯追不上海龟
现在，我们假设在橡皮跑道的尽端不是放置一颗金苹果，而是一只每秒走1公尺的海龟如图7，请问阿基利斯是否仍可追上海龟？我们可以告诉你，他不但永远追不上海龟，而且越追越远。
图7：阿基利斯在橡皮跑道上永远追不到海龟
这问题答案也很容易解答，首先阿基利斯跑到海龟现在的100公尺位置，须要发费22027秒。在这22027秒之间，海龟又前进了全部橡皮跑道的：
1/100+1/200+1/300+……+1/22027= 1/100(1+1/2+1/3+……+1/22027)
=1/100(4.343)=4.343/100（这时橡皮跑道的长度为22027×100公尺）
所以海龟前进的路程为100公尺×22027×(4.343/100)=95663公尺，也就是说阿基利斯追海龟越追越远。
(二) 二分说（dichotomy）：一个人从A地到B地，永远不能 达到
有人想从A地到B地，首先他要通过道路的一半；但要通过一半，必须通过一半的一半，即道路的1/4；要通过1/4，必先通过1/8，这样永无止境的分下去，将有无穷的点。芝诺的结论是此人根本无法跨越此无数的点，所以他永远不能开始，一直停留在原点的位置（如图8）。
图8：一个人从A地到B地，永远留在原点，不能达到B点。
芝诺在“二分说”犯有错误，因为一切连续事物被说成是“无限的”，都属下列两种涵义之一：或分起来是无限的，或无限的延伸，这两者的无限的涵义是不相同的。芝诺在“二分说”中的“距离”是分起来是无限的，它是将固定有限的一段距离分成无限个点。而时间是无限的延伸。因此两者无限是不相同的，的确在“二分说”里的人最后也会从“Ａ地”走到“Ｂ地”。现在如将“二分说”里的时间也换成无限延伸的空间则更容易了解芝诺对无限细分及无限延长的误解，譬如：有一立方公尺的物质，要放入十立方公尺的容器，毫无疑间的，必能放进容器；若将一立方公尺的这个物质切成无穷多块，这些细分后的小方块应该也能全部放入十立方公尺的容器；若将一立方公尺的这个物质切成无穷多块，而此十立方公尺的容器一直增大，直到无穷，当然这个细分后的物质更容易放入一直增大的容器。
上述的解说最早见诸于亚理斯多德对芝诺的批评，应该可以解释“二分说”所犯的错误。