芝诺(4)〈芝诺悖论〉江铭辉  五梦网

(三)       飞箭（arrow）静止说

芝诺说：「飞箭在任何一个确定的时刻只能占据空间的一个特定的位置，因此在这一瞬间它就静上在这个位置上。」于是所谓运动，只是许多静止的总和。对于这个悖论，亚理斯多德首先提出批评，他说：时间是连续的，不是由不可分的“现在”组成的，正如别的任何量，也都不是由不可分的“部分组合”，又说：在时间里，确有一种不可分的东西，我们把它称之为“现在”。因此这个问题就便成讨论“现在”究竟是什么？这个问题对于只知道“数”只有“有理数”的公元前五世纪的希腊人，飞箭会发生短暂的停顿是有它的道理的，因为有理数（1,1/2,1/3,1/4……）的两数之间是不连续且可数的，若将飞箭所飞行的距离分割成无限个有理数的点（X₁，X₂，……X_n……），同时也把飞箭所经过的时间也分成无限个有理数点（t₁，t₂，t₃……t_n……）。将距离的点与时间的点做“一对一”对映，即(X₁，t₁)，(X₂，t₂)，……（X_n，t_n）……。因为X₁，X₂……X_n是不连续的，且两数中间还有一大堆无理数，譬如X₁和X₂之间有许多无理数。所以对每个距离X_n来讲它有一个现在的时间t_n与之对映，也就是飞箭的在t_n这个时刻，它是静止的。一直要等到t_n+1时，它才会再移动到X_n+1的位置（如

图9）。

芝诺的飞箭静止说是居于“有理数”的观点来解释的，如果自然界只存在有理数而没有无理数存在，则的确飞箭有一段时间是可用“静止”不动来解释。但是由于距离和时间都可分割为无限不可数的点且这些点是连续的，因此在任一给定的瞬刻飞箭虽然是不动的，但在由无限多瞬间组成的连续体上飞箭是不停在动的。这个观念我们可从伽利略（Galilei Galelieo）在他于1638年出版的〈新科学对话〉中所说明的关于使二在线的点正确的对应及康托尔（Georg Cantor）的实数集的连续体假设得到满意的解释。

图9：将距离分为x₁，x₂……x_n，x_n+1……x_∞的点，时间也分为t₁，t₂……t_n，t_n+1……t_∞的点。则在时间t_n时，飞箭来到距离x_n的点，往后有一段非常微小的时间（t_n+1，t_n），飞箭是静止的，一直到时间变成t_n+1时，飞箭才从距离x_n跳到距离x_n+1。

如图10，于图中设CD是飞箭从起始点到终点的距离，AB是飞箭起时到终点的时间，若从点Ｏ向AB上的点P划一条直线时，此直线必定通过CD上的一点P₁，也就是说在时间轴AB上的任一点P，必然有距离轴CD之一点与之对应。由于时间在AB时间轴上是从A点开始无限的延伸，因此飞箭也跟着从C点开始经无限连续点到达终点D。也就是说在任一给定的瞬刻P点飞箭是不动的静止在P₁点，但在无限多的“瞬刻”组成的连续体上飞箭是随时间的延伸而运动的。

图10：二在线的点正确的对应

(四)       运动场（Stadium）悖论

这个问题叙述有关运动场上运动物体的悖论：如图11，运动场跑道上有A、B、C三队选手，选手体形相同、人数一样，他们排成三队，A队从起点到中点，B队从中点往左右排开，C队从中点到终点。此时A、C两队向中点奔跑、B对则留在原地静止不动，芝诺从此出发说明：整段时间和它的一半时间是相等。

芝诺论的悖论可用以下来说明：

图11：A、B、C三对选手，B对往前奔跑、A对向后奔跑、另C对留在原地静止不动

如图11，设有A、B、C三对选手，每对各5人，每队分为4等分(每位选手相距d公尺)。用a₀，…，a₄；b₀，…，b₄；c₀，…，c₄来代表这三对选手。现在A、C各向中央方向以等速运动，而B不动。经过时间t之后，A、B、C三对全部对齐（如图11）。

图12：三队选手整齐排成三队

这时A上的a₂和B上的b₂对齐，而原先a₂是和b₀对齐的，故a₂通过了距离2d。另一方面，c₄原先是和a₀对齐的，现在却和a₄对齐（图12），可见a₄已通过4d的距离。由此看来，c₄要想通过2d的距离（和a₃对齐），只要一半时间就够了。齐诺因此得到一个结论：时间的一半和它的全体时间相等。这问题错误的地方很容易看出，亚理斯多德首先指出错误之处，他说：1.芝诺把运动着的物体将要通过的两个物体的状态混在一起，一个是静止的，一个是反相运动的；2.他把运动着的物体要通过的所有时间（通过一个是静止的时间及通过一个是反相运动的时间）皆当作应该相等。