芝諾(4)〈芝諾悖論〉江銘輝  五夢網

(三)       飛箭（arrow）靜止說

芝諾說：「飛箭在任何一個確定的時刻只能佔據空間的一個特定的位置，因此在這一瞬間它就靜上在這個位置上。」於是所謂運動，只是許多靜止的總和。對於這個悖論，亞理斯多德首先提出批評，他說：時間是連續的，不是由不可分的“現在”組成的，正如別的任何量，也都不是由不可分的“部分組合”，又說：在時間裡，確有一種不可分的東西，我們把它稱之為“現在”。因此這個問題就便成討論“現在”究竟是什麼？這個問題對於只知道“數”只有“有理數”的西元前五世紀的希臘人，飛箭會發生短暫的停頓是有它的道理的，因為有理數（1,1/2,1/3,1/4……）的兩數之間是不連續且可數的，若將飛箭所飛行的距離分割成無限個有理數的點（X₁，X₂，……X_n……），同時也把飛箭所經過的時間也分成無限個有理數點（t₁，t₂，t₃……t_n……）。將距離的點與時間的點做“一對一”對映，即(X₁，t₁)，(X₂，t₂)，……（X_n，t_n）……。因為X₁，X₂……X_n是不連續的，且兩數中間還有一大堆無理數，譬如X₁和X₂之間有許多無理數。所以對每個距離X_n來講它有一個現在的時間t_n與之對映，也就是飛箭的在t_n這個時刻，它是靜止的。一直要等到t_n+1時，它才會再移動到X_n+1的位置（如

圖9）。

芝諾的飛箭靜止說是居於“有理數”的觀點來解釋的，如果自然界只存在有理數而沒有無理數存在，則的確飛箭有一段時間是可用“靜止”不動來解釋。但是由於距離和時間都可分割為無限不可數的點且這些點是連續的，因此在任一給定的瞬刻飛箭雖然是不動的，但在由無限多瞬間組成的連續體上飛箭是不停在動的。這個觀念我們可從伽利略（Galilei Galelieo）在他於1638年出版的〈新科學對話〉中所說明的關於使二線上的點正確的對應及康托爾（Georg Cantor）的實數集的連續體假設得到滿意的解釋。

圖9：將距離分為x₁，x₂……x_n，x_n+1……x_∞的點，時間也分為t₁，t₂……t_n，t_n+1……t_∞的點。則在時間t_n時，飛箭來到距離x_n的點，往後有一段非常微小的時間（t_n+1，t_n），飛箭是靜止的，一直到時間變成t_n+1時，飛箭才從距離x_n跳到距離x_n+1。

如圖10，於圖中設CD是飛箭從起始點到終點的距離，AB是飛箭起時到終點的時間，若從點Ｏ向AB上的點P劃一條直線時，此直線必定通過CD上的一點P₁，也就是說在時間軸AB上的任一點P，必然有距離軸CD之一點與之對應。由於時間在AB時間軸上是從A點開始無限的延伸，因此飛箭也跟著從C點開始經無限連續點到達終點D。也就是說在任一給定的瞬刻P點飛箭是不動的靜止在P₁點，但在無限多的“瞬刻”組成的連續體上飛箭是隨時間的延伸而運動的。

圖10：二線上的點正確的對應

(四)       運動場（Stadium）悖論

這個問題敘述有關運動場上運動物體的悖論：如圖11，運動場跑道上有A、B、C三隊選手，選手體形相同、人數一樣，他們排成三隊，A隊從起點到中點，B隊從中點往左右排開，C隊從中點到終點。此時A、C兩隊向中點奔跑、B對則留在原地靜止不動，芝諾從此出發說明：整段時間和它的一半時間是相等。

芝諾論的悖論可用以下來說明：

圖11：A、B、C三對選手，B對往前奔跑、A對向後奔跑、另C對留在原地靜止不動

如圖11，設有A、B、C三對選手，每對各5人，每隊分為4等分(每位選手相距d公尺)。用a₀，…，a₄；b₀，…，b₄；c₀，…，c₄來代表這三對選手。現在A、C各向中央方向以等速運動，而B不動。經過時間t之後，A、B、C三對全部對齊（如圖11）。

圖12：三隊選手整齊排成三隊

這時A上的a₂和B上的b₂對齊，而原先a₂是和b₀對齊的，故a₂通過了距離2d。另一方面，c₄原先是和a₀對齊的，現在卻和a₄對齊（圖12），可見a₄已通過4d的距離。由此看來，c₄要想通過2d的距離（和a₃對齊），只要一半時間就夠了。齊諾因此得到一個結論：時間的一半和它的全體時間相等。這問題錯誤的地方很容易看出，亞理斯多德首先指出錯誤之處，他說：1.芝諾把運動著的物體將要通過的兩個物體的狀態混在一起，一個是靜止的，一個是反相運動的；2.他把運動著的物體要通過的所有時間（通過一個是靜止的時間及通過一個是反相運動的時間）皆當作應該相等。