芝諾(3)〈芝諾悖論〉 江銘輝 五夢網
空間隨時間而變
這是生活在時間和空間互不相干的三度空間的人類皆會感受得到的自然結果。但是如果在空間隨時間變化的四度空間世界裡，譬如愛因斯坦的四度空間理論，也許阿基里斯就真的追不到海龜了。我們用下面二個例子來解釋：
(a) 阿基里斯如何在橡皮跑道拿到蘋果？
如圖6，阿基里斯在橡皮跑道的一端，橡皮跑道長100公尺，他奉令要跑到橡皮跑道的一端拿金蘋果。阿基里斯以每秒10公尺的穩定速度沿橡皮跑道往前急奔，但在1秒鐘之後，橡皮跑道就像橡皮筋一樣拉長為200公尺，再過一秒鐘後，它又拉長為300公尺，如此下去，阿基里斯最後究竟會不會拿到金蘋果呢？
圖6：阿基里斯可否拿到100公尺以外的金蘋果？
根據直覺你會說，阿基里斯拿不到金蘋果，可是我們說：他可辦到。解決這個問題的關鍵是橡皮跑道的伸長是均勻的，在橡皮跑道伸長時，阿基里斯也隨著橡皮的拉伸向前挪移了。因此：在第一秒內，阿基里斯跑了10公尺為橡皮跑道長度的1/10，在第二秒內阿基里斯又在長度為200公尺的橡皮跑道跑了1/20，第三秒內，他又跑了300公尺橡皮跑道的1/30，如此繼續的跑，假設橡皮跑道最後的長度是S，則阿基里斯的全部跑程是：
（1/10+1/20+1/30+1/40……）S=1/10（1+1/2+1/3+1/4……）S
（1+1/2+1/3+1/4……1/n……是調和級數，它的“和”，我們要它多大，就可以有多大，所以我們說阿基里斯在n秒時，可拿到金蘋果，即：
1/10（1+1/2+1/3+1/4+……1/n +……）S≧S
1+1/2+1/3+1/4+……1/n +……≧10
1+1/2+1/3+1/4+……1/n +……的和在n非常大時是㏒n所以只要㏒n=10 即 n=e10=22027（秒）時阿基里斯可以拿到金蘋果。
(b)阿基里斯追不上海龜
現在，我們假設在橡皮跑道的盡端不是放置一顆金蘋果，而是一隻每秒走1公尺的海龜如圖7，請問阿基里斯是否仍可追上海龜？我們可以告訴你，他不但永遠追不上海龜，而且越追越遠。
圖7：阿基里斯在橡皮跑道上永遠追不到海龜
這問題答案也很容易解答，首先阿基里斯跑到海龜現在的100公尺位置，須要發費22027秒。在這22027秒之間，海龜又前進了全部橡皮跑道的：
1/100+1/200+1/300+……+1/22027= 1/100(1+1/2+1/3+……+1/22027)
=1/100(4.343)=4.343/100（這時橡皮跑道的長度為22027×100公尺）
所以海龜前進的路程為100公尺×22027×(4.343/100)=95663公尺，也就是說阿基里斯追海龜越追越遠。
(二) 二分說（dichotomy）：一個人從A地到B地，永遠不能達到
有人想從A地到B地，首先他要通過道路的一半；但要通過一半，必須通過一半的一半，即道路的1/4；要通過1/4，必先通過1/8，這樣永無止境的分下去，將有無窮的點。芝諾的結論是此人根本無法跨越此無數的點，所以他永遠不能開始，一直停留在原點的位置（如圖8）。
圖8：一個人從A地到B地，永遠留在原點，不能達到B點。
芝諾在“二分說”犯有錯誤，因為一切連續事物被說成是“無限的”，都屬下列兩種涵義之一：或分起來是無限的，或無限的延伸，這兩者的無限的涵義是不相同的。芝諾在“二分說”中的“距離”是分起來是無限的，它是將固定有限的一段距離分成無限個點。而時間是無限的延伸。因此兩者無限是不相同的，的確在“二分說”裡的人最後也會從“Ａ地”走到“Ｂ地”。現在如將“二分說”裡的時間也換成無限延伸的空間則更容易了解芝諾對無限細分及無限延長的誤解，譬如：有一立方公尺的物質，要放入十立方公尺的容器，毫無疑間的，必能放進容器；若將一立方公尺的這個物質切成無窮多塊，這些細分後的小方塊應該也能全部放入十立方公尺的容器；若將一立方公尺的這個物質切成無窮多塊，而此十立方公尺的容器一直增大，直到無窮，當然這個細分後的物質更容易放入一直增大的容器。
上述的解說最早見諸於亞理斯多德對芝諾的批評，應該可以解釋“二分說”所犯的錯誤。