芝诺(2)〈芝诺悖论〉 江铭辉  五梦网

四、   芝诺的四个著名运动论证

(一)  阿基利斯追龟说（Achilles and a tortoise）

芝诺说：阿基利斯追海龟，永远追不上。阿基利斯（Achilles）是古希腊最伟大诗人〈荷马〉（Homer，公元前8世纪）（图2a、2b）史诗〈埃利奥特〉（Iliad）中的希腊英雄，他传说是海之女神和凡人的儿子，出生之后被母亲倒提脚跟在冥河水中浸过，因此除了脚根外，全身刀枪不入。以善跑著称，而龟是在动物界中，少数跑得很慢的动物之一。

图2a：荷马

关于荷马的事迹在史籍上记载的很少，但流传至今有关他的传说却不少。据说荷马是个双目失明的人，他经常一城又一城的旅游和吟诵诗歌。他留下的作品「埃利奥特」及「奥德赛」被认为是世界最古、最长的叙事诗，并且这些诗对后世文坛的影响也十分深远。

图2b：阿基利斯

希腊神话中的英雄，海之女神特提斯和凡人所生的儿子。他出生后被母亲倒提脚跟在冥河水中浸过，因此除了脚根外，全身刀枪不入。但他的这个弱点被敌人所识除，用毒箭射入他的脚后跟，他中箭身亡。在英文的谚语中“阿基利斯的脚跟”

图2：荷马及荷马笔下的阿基利斯

芝诺的四个时间和运动的悖论中，最著名的悖论就是阿基利斯追龟的悖论，这个悖论是：

(1)  阿基利斯想要追上100公尺外的一只海龟。（如图3）

图3：阿基利斯想追上100公尺外的一只海龟

(2)  假设阿基利斯跑的速度是海龟的十倍。他每秒跑10公尺，而海龟每秒跑1公尺。

(3)  当阿基利斯跑了10秒钟，到海龟原来所在位置时，海龟已  向前爬了10公尺。（如图4）

图4：当阿基利斯跑了100公尺时，海龟又向前爬了10公尺

(4)  当阿基利斯又跑了10公尺时，海龟又向前爬了1公尺

(5)      阿基利斯再追1公尺，海龟又前进了1/10公尺，这样……，如此只要阿基利斯走到海龟原先所在的地方，海龟就又向前移动一小距离。由于海龟永远在阿基利斯前面这么一点点距离，所以阿基利斯一直无法追上海龟。

芝诺当然也知道阿基利斯最后能够追上海龟，但是他这种无穷级数的距离和时间的观念，困惑了当代及后世的学者。

阿基利斯追不到海龟的悖论，其主要原因是希腊人将空间与时间混为一谈。事实上，生活在三度空间的动物，无论是海龟或人类都不能控制时间，也就是说时间与空间是独立的，换言之：不管阿基利斯与海龟如何的跑，时间都会继续前进，不曾停顿，阿基利斯可以一直以每秒10公尺的速度向前跑，不管他与海龟的距离是如何接近，也不管海龟是停跑或每秒跑多远。

用我们现在数学的计算，海龟在被阿基利斯追上时，海龟与阿基利斯所跑的路程为：

海龟跑的路程：10公尺+1公尺+1/10公尺+1/100公尺+1/1000公尺+……

=11.11111……公尺=11.i公尺（海龟使用11. i秒）

阿基利斯跑的路程：100公尺+10公尺+1公尺+1/10公尺+1/100公尺+1/1000公尺+……=111. i公尺（用11. i秒）

如图5，很显然的，阿基利斯如果用以比11. i秒多一点的时间一定可追上海龟。

图5：阿基利斯追海龟的曲线图