芝諾(2)〈芝諾悖論〉江銘輝  五夢網

四、   芝諾的四個著名運動論證

(一)  阿基里斯追龜說（Achilles and a tortoise）

芝諾說：阿基里斯追海龜，永遠追不上。阿基里斯（Achilles）是古希臘最偉大詩人〈荷馬〉（Homer，西元前8世紀）（圖2a、2b）史詩〈伊里亞德〉（Iliad）中的希臘英雄，他傳說是海之女神和凡人的兒子，出生之後被母親倒提腳跟在冥河水中浸過，因此除了腳根外，全身刀槍不入。以善跑著稱，而龜是在動物界中，少數跑得很慢的動物之一。

圖2a：荷馬

關於荷馬的事蹟在史籍上記載的很少，但流傳至今有關他的傳說卻不少。據說荷馬是個雙目失明的人，他經常一城又一城的旅遊和吟誦詩歌。他留下的作品「伊里亞德」及「奧德賽」被認為是世界最古、最長的敘事詩，並且這些詩對後世文壇的影響也十分深遠。

圖2b：阿基里斯

希臘神話中的英雄，海之女神特提斯和凡人所生的兒子。他出生後被母親倒提腳跟在冥河水中浸過，因此除了腳根外，全身刀槍不入。但他的這個弱點被敵人所識除，用毒箭射入他的腳後跟，他中箭身亡。在英文的諺語中“阿基里斯的腳跟”

圖2：荷馬及荷馬筆下的阿基里斯

芝諾的四個時間和運動的悖論中，最著名的悖論就是阿基里斯追龜的悖論，這個悖論是：

(1)  阿基里斯想要追上100公尺外的一隻海龜。（如圖3）

圖3：阿基里斯想追上100公尺外的一隻海龜

(2)  假設阿基里斯跑的速度是海龜的十倍。他每秒跑10公尺，而海龜每秒跑1公尺。

(3)  當阿基里斯跑了10秒鐘，到海龜原來所在位置時，海龜已  向前爬了10公尺。（如圖4）

圖4：當阿基里斯跑了100公尺時，海龜又向前爬了10公尺

(4)  當阿基里斯又跑了10公尺時，海龜又向前爬了1公尺

(5)      阿基里斯再追1公尺，海龜又前進了1/10公尺，這樣……，如此只要阿基里斯走到海龜原先所在的地方，海龜就又向前移動一小距離。由於海龜永遠在阿基里斯前面這麼一點點距離，所以阿基里斯一直無法追上海龜。

芝諾當然也知道阿基里斯最後能夠追上海龜，但是他這種無窮級數的距離和時間的觀念，困惑了當代及後世的學者。

阿基里斯追不到海龜的悖論，其主要原因是希臘人將空間與時間混為一談。事實上，生活在三度空間的動物，無論是海龜或人類都不能控制時間，也就是說時間與空間是獨立的，換言之：不管阿基里斯與海龜如何的跑，時間都會繼續前進，不曾停頓，阿基里斯可以一直以每秒10公尺的速度向前跑，不管他與海龜的距離是如何接近，也不管海龜是停跑或每秒跑多遠。

用我們現在數學的計算，海龜在被阿基里斯追上時，海龜與阿基里斯所跑的路程為：

海龜跑的路程：10公尺+1公尺+1/10公尺+1/100公尺+1/1000公尺+……

=11.11111……公尺=11.i公尺（海龜使用11. i秒）

阿基里斯跑的路程：100公尺+10公尺+1公尺+1/10公尺+1/100公尺+1/1000公尺+……=111. i公尺（用11. i秒）

如圖5，很顯然的，阿基里斯如果用以比11. i秒多一點的時間一定可追上海龜。

圖5：阿基里斯追海龜的曲線圖