毕达哥拉斯(5)〈毕达哥拉斯定理的证明人〉  江铭辉  五梦网

十六、毕达哥拉斯数的一般表达式

古代许多数学家试图找出毕达哥拉斯的一般表达式，并取得一定成果，例如：

1.毕达哥拉斯表达式为：

x=n，y=1/2 n²，z= n²+ 1（n为奇数）

2.柏拉图表达式为：

X=m，y=1/4(m²-1) ，z= m²+1（m为偶数）

3.欧几里德表达式为：

X=√mn，y=(m-n) ，z= (m+n)（m，n同为奇数或偶数，且mn为完全平方数）

以上三种表达式的正确性都很容易检验，但每一种表达式都不能表示全部的毕达哥拉斯数。公元六世纪印度数学家波罗门笈多（Branmagupta，公元598～665年）终于找到毕达哥拉斯数的一般表达公式：

x=2mn，y=(m²-n²) ，z=(m²+n²)（m，n为正整数，m＞m）

十七、图形的填满

有关图形的填满平面，我们首先要讨论空间与铺砖问题，所谓的铺砖即是指在平面上将砖块铺成各种图形。

首先，我们先看看相等的正多边形块的铺设。正n边形砖块一个内角的大小为：

(1/2-1/n)´360°　，例如正三角形的内角是(1/2-1/3)´360°=60°；正方形的内角是(1/2-1/4) ´360° =90°

因为三百六十度角须要m个内角同时围绕同一顶点才能补满。因此(1/2-1/n)´360°´m=360°。

亦即1/m+1/n=1/2

可是，因为n≧3，所以0<1/2-1/m=1/n≦1/3

所以3≦m≦6

因此得到的结论为：

m=3时，n=6　

m=4时，n=4　

m=5时，n没有整数

m=6时，n=3

所以，我们由以上推论得知，只有正六边形三个、正方形四个、正三角形六个时才能围成三百六十度。

这个性质在毕达哥拉斯学派早已证明了平面可以用正三角形、正方形及正六边形填满（图15），此外他们也发现空间可用正立方体填满。

图15：毕达哥拉斯学派证明了正三角形，正方形及正六边形可填满平面。

十八、发现四面体、六面体及八面体

正多面体是各面都是全等的正多边形，且连接各顶点所形成的正多角形都全等的多面体。欧几里德证明仅存在五种正多面体（如图15），即：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。这五种正多面体的其中三种（四面体、六面体和八面体）是由毕达哥拉斯学派所发现的，另二种正多面体（十二面体和二十面体）才是柏拉图学派狄泰塔斯（Theaetetus，公元前417～369年）所发现。因为柏拉图最先著书描述它，所以这五种多面体统称为柏拉图体。

图1：正四面体；图2：正六面体；图3：正八面体；图4：正十二面体；图5：正二十面体。

图16：正多面体的五种图形

十九、无理数的发现

无限不循环小数叫做无理数，例如：√2 π, ｅ, 0.1010010001……，它们不能表示成P/q的分数形式（P，q为整数）。毕达哥拉斯学派不接受无理数，他们认为宇宙中一切现象都可归结为两个整数之比。有趣的是发现无理数的人是毕达哥拉斯学派下的人，且使用的工具竟然是毕达哥拉斯定律。这个人是毕达哥拉斯的学生希帕索斯（Hippasus，约公元前470年），他在研究边长为一的正方形时，发现对角线不可能用P/q表示出来（图17）。这个发现违反了毕达哥拉斯学派的信念，他被逐出学派。后来还被学派的成员追杀投入大海丧生。无理数的发现引起了数学史上的第一次危机，导致以后数域的扩大，为数学发展做出了重要贡献。

图17：边长为1的正方形的对角线长度为√2，√2不能用P∕q（P,q皆为整数）来表示，因此是无理数。