畢達哥拉斯(5)〈畢達哥拉斯定理的證明人〉  江銘輝  五夢網

十六、畢達哥拉斯數的一般表達式

古代許多數學家試圖找出畢達哥拉斯的一般表達式，並取得一定成果，例如：

1.畢達哥拉斯表達式為：

x=n，y=1/2 n²，z= n²+ 1（n為奇數）

2.柏拉圖表達式為：

X=m，y=1/4(m²-1) ，z= m²+1（m為偶數）

3.歐幾里德表達式為：

X=√mn，y=(m-n) ，z= (m+n)（m，n同為奇數或偶數，且mn為完全平方數）

以上三種表達式的正確性都很容易檢驗，但每一種表達式都不能表示全部的畢達哥拉斯數。西元六世紀印度數學家波羅門笈多（Branmagupta，西元598～665年）終於找到畢達哥拉斯數的一般表達公式：

x=2mn，y=(m²-n²) ，z=(m²+n²)（m，n為正整數，m＞m）

十七、圖形的填滿

有關圖形的填滿平面，我們首先要討論空間與舖磚問題，所謂的舖磚即是指在平面上將磚塊舖成各種圖形。

首先，我們先看看相等的正多邊形塊的舖設。正n邊形磚塊一個內角的大小為：

(1/2-1/n)´360°　，例如正三角形的內角是(1/2-1/3)´360°=60°；正方形的內角是(1/2-1/4) ´360° =90°

因為三百六十度角須要m個內角同時圍繞同一頂點才能補滿。因此(1/2-1/n)´360°´m=360°。

亦即1/m+1/n=1/2

可是，因為n≧3，所以0<1/2-1/m=1/n≦1/3

所以3≦m≦6

因此得到的結論為：

m=3時，n=6　

m=4時，n=4　

m=5時，n沒有整數

m=6時，n=3

所以，我們由以上推論得知，只有正六邊形三個、正方形四個、正三角形六個時才能圍成三百六十度。

這個性質在畢達哥拉斯學派早已證明了平面可以用正三角形、正方形及正六邊形填滿（圖15），此外他們也發現空間可用正立方體填滿。

圖15：畢達哥拉斯學派證明了正三角形，正方形及正六邊形可填滿平面。

十八、發現四面體、六面體及八面體

正多面體是各面都是全等的正多邊形，且連接各頂點所形成的正多角形都全等的多面體。歐幾里德證明僅存在五種正多面體（如圖15），即：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體。這五種正多面體的其中三種（四面體、六面體和八面體）是由畢達哥拉斯學派所發現的，另二種正多面體（十二面體和二十面體）才是柏拉圖學派狄泰塔斯（Theaetetus，西元前417～369年）所發現。因為柏拉圖最先著書描述它，所以這五種多面體統稱為柏拉圖體。

圖1：正四面體；圖2：正六面體；圖3：正八面體；圖4：正十二面體；圖5：正二十面體。

圖16：正多面體的五種圖形

十九、無理數的發現

無限不循環小數叫做無理數，例如：√2 π, ｅ, 0.1010010001……，它們不能表示成P/q的分數形式（P，q為整數）。畢達哥拉斯學派不接受無理數，他們認為宇宙中一切現象都可歸結為兩個整數之比。有趣的是發現無理數的人是畢達哥拉斯學派下的人，且使用的工具竟然是畢達哥拉斯定律。這個人是畢達哥拉斯的學生希帕索斯（Hippasus，約西元前470年），他在研究邊長為一的正方形時，發現對角線不可能用P/q表示出來（圖17）。這個發現違反了畢達哥拉斯學派的信念，他被逐出學派。後來還被學派的成員追殺投入大海喪生。無理數的發現引起了數學史上的第一次危機，導致以後數域的擴大，為數學發展做出了重要貢獻。

圖17：邊長為1的正方形的對角線長度為√2，√2不能用P∕q（P,q皆為整數）來表示，因此是無理數。