毕达哥拉斯(4)〈毕达哥拉斯定的理证明人〉江铭辉 五梦网

十二、美国总统加菲尔也证明勾股定理

美国总统中，林肯（Abraham Lincoln，公元1809～1865年）被认为以研究欧几里德〈几何原本〉来学习逻辑的倡导者。但更有创造性的是美国的第二十任总统加菲尔（James Abram Garfield，公元1831～1881年）（图11）。在1876年时，也就是他成为美国总统的前五年，独立地发现了毕达哥拉斯定理的证明方法，当时他才只是一位美国的众议员，当他和别的议员讨论数学问题时突然想到这种证明，该证明后来发表于〈新英格兰教育月刊〉（New England Journal of Education）上。

林肯（图左，Abraham Lincoln，公元1809～1865年）1861年当选美国总统，1865年遭暗杀于任内。

加菲尔（图右James Abram Carfield，公元1831～1881年）1881年当选美国总统，1881年遭暗杀于任内。

图11：林肯及加菲尔有些相同之处，两人皆为美国总统，并且在总统就任时被暗杀。在数学方面，林肯以研究欧几里德〈几何原本〉来学习逻辑闻名，加菲尔以发现毕达哥拉斯的证明闻名。

加菲尔总统的证明方法如下：

如图12，梯形面积=(上底+下底) ´高除以2=1/2(a+b) ´(a+b)=1/2(a²+2ab+b²)，该梯形由三个直角三角形所构成，此三个三角形的面积和=1/2 ab+1/2c²+1/2ab=1/2(2ab+ c²)。

因为梯形面积等于三个直角三角形的面积

所以1/2(a²+2ab+b²)= 1/2(2ab+c²)

所以 a²+2ab+b²= 1/2(2ab+c²)

所以a²+b²=c²

图12：美国总统加菲尔对毕达哥拉斯定理的证明图

十三、勾股定理有趣问题

这里有一个有趣的问题，它是利用毕达哥拉斯定理来解决。题目如下：

问题：在一条宽50英尺河流的两岸，竖着高20英尺与30英尺的电线竿，竿上各停着一只鸟，正注意河上的一条鱼。

两只鸟同时飞起，成一直线以相同速度袭向水面上的鱼，并同时啄到鱼，试求鱼的位置。

解答：如图13，假设20英尺高的电线竿其底为A，顶为B，30英尺高的电线竿其底为C，顶为D，鱼则在与A距离x处的E点，由于已知BE等于DE，因此根据毕达哥拉斯定理，求得下列式子：

x² + 20² = （50-x）² + 30²；解之，得：x = 30。

图13

十四、毕达哥拉斯数

满足方程式X²＋Y²＝Z²的三个正整数X, Y, Z叫做毕达哥拉斯数。这个方程式的所有正数解的计算公式为X＝a²－b², Y=2ab, Z=a²＋b²，式中a、b为任意正整数（a＞b），最小的两组毕达哥拉斯数是3、4、5和5、12、13。

历史上最早发现毕达哥拉斯数的是巴比伦人。公元前1800年巴比伦的泥板上就刻有15组的毕达哥拉斯数（图14a）。

图14-a：普林顿322号巴比伦泥板

图14-b是普林顿泥板译成现代十进制数学符号（右边算起的三行），最左边的一行掉下半块，无法知道详情，最右边的一行（Ⅲ）只不过用来表示数列。中间两行（Ⅰ、Ⅱ）是用来表示毕达哥拉斯数的两个数，第二行是表示直角三角形的斜边，第一行是直角三角形的直角边，另外一边没有列出来。括号内的数目是泥板所刻的数目，它是错误的，我们把正确的数目写在括号的前面，譬如第Ⅱ行第二字有错误（11521是错误，正确应为4825）。

图14-b：普林顿泥板译成现代十进制数学符号

图14-c：巴比伦人计算毕达哥拉斯定理并非直接用x²+y²=z²，而是利用z²-y²＝x²，即泥板之第Ⅱ行的平方减去第Ⅰ行的平方。由此可知此泥板有十五组毕达哥拉斯数，即z²-y²=x²，z为m²+n²，y为m²-n²，x=2mn

图14-c：完整三个数字的毕达哥拉斯数。

哥伦比亚大学普林顿收集馆的第322号数藏品，此泥板是用古代巴比伦字体写的，时间在公元前1900到1600年间。由此泥板，我们知道巴比伦人比毕达哥拉斯早一千多年就发现毕达哥拉斯定理，并给出十五组毕达哥拉斯数。

十五、中国也有毕达哥拉斯数记载

中国〈周髀算经〉在记载公元前1100年周公与高商的对话中提出“勾三股四弦五”，这是最小一组的毕达哥拉斯数。〈九章算术〉中进一步指出5、12、13；7、24、25；8、15、17；20、21、29都是毕达哥拉斯数。