畢達哥拉斯(4)〈畢達哥拉斯定理的證明人〉江銘輝五夢網

十二、美國總統加菲爾也證明畢氏定理

美國總統中，林肯（Abraham Lincoln，西元1809～1865年）被認為以研究歐幾里德〈幾何原本〉來學習邏輯的倡導者。但更有創造性的是美國的第二十任總統加菲爾（James Abram Garfield，西元1831～1881年）（圖11）。在1876年時，也就是他成為美國總統的前五年，獨立地發現了畢達哥拉斯定理的證明方法，當時他才只是一位美國的眾議員，當他和別的議員討論數學問題時突然想到這種證明，該證明後來發表於〈新英格蘭教育月刊〉（New England Journal of Education）上。

林肯（圖左，Abraham Lincoln，西元1809～1865年）1861年當選美國總統，1865年遭暗殺於任內。

加菲爾（圖右James Abram Carfield，西元1831～1881年）1881年當選美國總統，1881年遭暗殺於任內。

圖11：林肯及加菲爾有些相同之處，兩人皆為美國總統，並且在總統就任時被暗殺。在數學方面，林肯以研究歐幾里德〈幾何原本〉來學習邏輯聞名，加菲爾以發現畢達哥拉斯的證明聞名。

加菲爾總統的證明方法如下：

如圖12，梯形面積=(上底+下底) ´高除以2=1/2(a+b) ´(a+b)=1/2(a²+2ab+b²)，該梯形由三個直角三角形所構成，此三個三角形的面積和=1/2 ab+1/2c²+1/2ab=1/2(2ab+ c²)。

因為梯形面積等於三個直角三角形的面積

所以1/2(a²+2ab+b²)= 1/2(2ab+c²)

所以 a²+2ab+b²= 1/2(2ab+c²)

所以a²+b²=c²

圖12：美國總統加菲爾對畢達哥拉斯定理的證明圖

十三、畢氏定理有趣問題

這裡有一個有趣的問題，它是利用畢達哥拉斯定理來解決。題目如下：

問題：在一條寬50英尺河流的兩岸，豎著高20英尺與30英尺的電線竿，竿上各停著一隻鳥，正注意河上的一條魚。

兩隻鳥同時飛起，成一直線以相同速度襲向水面上的魚，並同時啄到魚，試求魚的位置。

解答：如圖13，假設20英尺高的電線竿其底為A，頂為B，30英尺高的電線竿其底為C，頂為D，魚則在與A距離x處的E點，由於已知BE等於DE，因此根據畢達哥拉斯定理，求得下列式子：

x² + 20² = （50-x）² + 30²；解之，得：x = 30。

圖13

十四、畢達哥拉斯數

滿足方程式X²＋Y²＝Z²的三個正整數X, Y, Z叫做畢達哥拉斯數。這個方程式的所有正數解的計算公式為X＝a²－b², Y=2ab, Z=a²＋b²，式中a、b為任意正整數（a＞b），最小的兩組畢達哥拉斯數是3、4、5和5、12、13。

歷史上最早發現畢達哥拉斯數的是巴比倫人。西元前1800年巴比倫的泥板上就刻有15組的畢達哥拉斯數（圖14a）。

圖14-a：普林頓322號巴比倫泥板

圖14-b是普林頓泥板譯成現代十進位數學符號（右邊算起的三行），最左邊的一行掉下半塊，無法知道詳情，最右邊的一行（Ⅲ）只不過用來表示數列。中間兩行（Ⅰ、Ⅱ）是用來表示畢達哥拉斯數的兩個數，第二行是表示直角三角形的斜邊，第一行是直角三角形的直角邊，另外一邊沒有列出來。括號內的數目是泥板所刻的數目，它是錯誤的，我們把正確的數目寫在括號的前面，譬如第Ⅱ行第二字有錯誤（11521是錯誤，正確應為4825）。

圖14-b：普林頓泥板譯成現代十進位數學符號

圖14-c：巴比倫人計算畢達哥拉斯定理並非直接用x²+y²=z²，而是利用z²-y²＝x²，即泥板之第Ⅱ行的平方減去第Ⅰ行的平方。由此可知此泥板有十五組畢達哥拉斯數，即z²-y²=x²，z為m²+n²，y為m²-n²，x=2mn

圖14-c：完整三個數字的畢達哥拉斯數。

哥倫比亞大學普林頓收集館的第322號數藏品，此泥板是用古代巴比倫字體寫的，時間在西元前1900到1600年間。由此泥板，我們知道巴比倫人比畢達哥拉斯早一千多年就發現畢達哥拉斯定理，並給出十五組畢達哥拉斯數。

十五、中國也有畢達哥拉斯數記載

中國〈周髀算經〉在記載西元前1100年周公與高商的對話中提出“勾三股四弦五”，這是最小一組的畢達哥拉斯數。〈九章算術〉中進一步指出5、12、13；7、24、25；8、15、17；20、21、29都是畢達哥拉斯數。