毕达哥拉斯(3)〈毕达哥拉斯定理的证明人〉江铭辉 五梦网
八、数与图形的关系
毕氏学派非常重视数与图形的关系，经常研究形图与数如何结合在一起，他们把数排成各种图形，称为三角形数、正方形数、五角形数(图6)等多角形数(figure numbers)。
图6-a(最上面)：三角形数
图6-b(中间)：正方形数
图6-c(最下面)：五边形数
图6：数与图形的关系
多角形数的公式为n+(k-2) ´n(n-1)/2，k是边数，n是边形的数目，譬如图6-c中的五角形数的第3图形（P4），以K = 5, n = 4代入，得P4=4+(4-2) x 4(4-1)/2= 22
当k＝3, 4, 5时，分别称作三角形数、正方形数和五角形数，例如：
(1) 三角形数为：1, 3, 6, 10, 15, 21,……，n(n-1)/2，……，这些数目的点恰可以排成一个正三边形点阵（图6-a），这也是三角形数名称的由来。
（2）正方形数为：1, 4, 9, 16, 25, 36,……,n2,……，这些数目的点恰可以排成一个正方形点阵（图6-b），这也是正方形数（四角形数）名称的由来。
（3）五角形数为：1, 5, 12, 22,……n(3n-1)/2, ……，这些数目的点恰可以组成正五边形点阵（图6-c），这也是五角形数名称的由来。
九、毕达哥拉斯定理
毕达哥拉斯的成名代表作，当然非毕达哥拉斯定理莫属。这个定理说：直角三角形中，以斜边为边长的正方形面积等于以另两边为边长的正方形面积的和，它可以写成为：a2+b2=c2（图7）。
图7-a：毕达哥拉斯定理图形(左)
图7-b：东西方有关毕达哥拉斯定理的证明图(右上：东方：周髀算经中句股圆方图，西方：几何原本中之阿拉伯文。)
图7：毕达哥拉斯定理
图8-a(左上)：现藏耶鲁（Yale）大学巴比伦时代泥板
图8-b(右上)：巴比伦泥板的示意图
图8-c：以现在数学符号表示的巴比伦泥板。巴比伦的数目8为60进位，图下√2＝1; 24, 51, 10（60进位），30√2 = 42; 25, 35（60进位）。
图8：从现藏在耶鲁大学的巴比伦时代的泥板，科学家有充分证据说巴比伦人早已知道毕达哥拉斯定理（从图8-c可看出巴比伦人早就知道）。
毕达哥拉斯之所以因毕达哥拉斯定理而成名，有人说他是在一个好朋友的家中参加庆祝会时，凝视地面砖块砌成的图形时，发现这个定理的，因此西方称之为毕达哥拉斯定理。但是现在有充分证据知道比毕达哥拉斯早一千多年的巴比伦汉摩拉比（Hammurabi，约公元前1700年）王朝时，就已经知道这个定理。因此毕达哥拉斯不是发现毕达哥拉斯定理的原始者，他可能是第一个证明此定理或重新挖掘此定理并发扬光大的人。图8-a上刻有一个正方形，并划有对角线，对角线第一行写了一行数字，即1 24 51 10，以现在通行的十进制表示如下：
1 24 51 10 = 1 + 24/60+51/602+10/603 = 1.4142，正是按毕达哥拉斯定理算出来的单位正方形对角线的长，左上角有数字30√2，表示正方形一边是30，因此对角线的长是30√2，即对角线第二行所写，30√2 = 42 25 35 = 42 +25/60+35/602。
由此可判断，巴比伦人早就已经知道毕达哥拉斯定理了。
十、勾股定理的证明
据说毕达哥拉斯本人发现此定理时，欣喜万分，他宰了一百头牛来祭拜掌管文艺、科学的缪斯（Muses）女神，以酬谢神的启示。毕达哥拉斯如何证明此定理，现在已无法考证，目前最早保留下来的勾股定理证明方法被记载于欧几里德（Euclid）〈几何原本〉（Elements）第Ⅰ卷。在该书中，
欧几里德将毕达哥拉斯定理叙述为：直角三角形中，直角所对斜边上的正方形，等于夹直角两边上的正方形的和。
它的证明如下：
图9：欧几里德对毕达哥拉斯定理的证明
如图9，△ADC＝△ABJ（因为∠DAC＝∠BAJ，AD＝AB，AJ＝AC）；平行四边形ALKD面积等于△CAD面积的二倍（平行四边形ALKD的面积是‧DK，△CAD面积是1/2 AD‧DK），正方形AJHC面积等于△ABJ面积的二倍（因为正方形AJHC面积等于AJ‧AC，△ABJ的面积是 AJ‧AC），
所以平行四边形ALKD等于正方形AJHC，
同理：平行四边形LBEK等于正方形BCGF，
所以正方形ABED等于正方形AJHC与正方形BCGF，
所以直角三角形中，斜边上的正方形面积等于夹直角两边上正方形的和。
十一、中国人赵爽在三世纪也证明勾股定理
毕达哥拉斯定理是欧几里德〈几何原本〉书中的一个重要定理，这个定理的证明方法，现在已知多达三百多种。在中国关于毕达哥拉斯定理的证明，最早见于赵爽（Zhao Shuang，中国人，公元3世纪）的〈周髀算经〉注，他利用“弦图”（图10）证明了毕达哥拉斯定理。
图10：赵爽对毕达哥拉斯定理的证明图