畢達哥拉斯(3)〈畢達哥拉斯定理的證明人〉江銘輝 五夢網
八、數與圖形的關係
畢達哥拉斯學派非常重視數與圖形的關係，經常研究形圖與數如何結合在一起，他們把數排成各種圖形，稱為三角形數、正方形數、五角形數(圖6)等多角形數(figure numbers)。
圖6-a(最上面)：三角形數
圖6-b(中間)：正方形數
圖6-c(最下面)：五邊形數
圖6：數與圖形的關係，多角形數的公式為n+(k-2) x n(n-1)/2，k是邊數，n是邊形的數目
譬如圖6-c中的五角形數的第3圖形（P4），以K = 5, n = 4代入，得P4=4+(4-2) x 4(4-1)/2= 22
多角形數有下列特性，即：
它的形式為n+(k-2) x n(n-1)/2，當k＝3, 4, 5時，分別稱作三角形數、正方形數和五角形數，例如：
(1) 三角形數為：1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,……，n(n-1)/2，……，這些數目的點恰可以排成一個正三邊形點陣（圖6-a），這也是三角形數名稱的由來。
（2）正方形數為：1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81,……,n2,……，這些數目的點恰可以排成一個正方形點陣（圖6-b），這也是正方形數（四角形數）名稱的由來。
（3）五角形數為：1, 5, 12, 22, 35, 51,……n(3n-1)/2, ……，這些數目的點恰可以組成正五邊形點陣（圖6-c），這也是五角形數名稱的由來。
九、畢達哥拉斯定理
畢達哥拉斯的成名代表作，當然非畢達哥拉斯定理莫屬。這個定理說：直角三角形中，以斜邊為邊長的正方形面積等於以另兩邊為邊長的正方形面積的和，它可以寫成為：a2+b2=c2（圖7）。
圖7-a：畢達哥拉斯定理圖形(左)
圖7-b：東西方有關畢達哥拉斯定理的證明圖(右上：東方：周髀算經中句股圓方圖，西方：幾何原本中之阿拉伯文。)
圖7：畢達哥拉斯定理
圖8-a(左上)：現藏耶魯（Yale）大學巴比倫時代泥板
圖8-b(右上)：巴比倫泥板的示意圖
圖8-c：以現在數學符號表示的巴比倫泥板。巴比倫的數目8為60進位，圖下√2＝1; 24, 51, 10（60進位），30√2 = 42; 25, 35（60進位）。
圖8：從現藏在耶魯大學的巴比倫時代的泥板，科學家有充分證據說巴比倫人早已知道畢達哥拉斯定理（從圖8-c可看出巴比倫人早就知道）。
畢達哥拉斯之所以因畢達哥拉斯定理而成名，有人說他是在一個好朋友的家中參加慶祝會時，凝視地面磚塊砌成的圖形時，發現這個定理的，因此西方稱之為畢達哥拉斯定理。但是現在有充分證據知道比畢達哥拉斯早一千多年的巴比倫漢摩拉比（Hammurabi，約西元前1700年）王朝時，就已經知道這個定理。因此畢達哥拉斯不是發現畢達哥拉斯定理的原始者，他可能是第一個證明此定理或重新挖掘此定理並發揚光大的人。圖8-a上刻有一個正方形，並劃有對角線，對角線第一行寫了一行數字，即1 24 51 10，以現在通行的十進位表示如下：
1 24 51 10 = 1 + 24/60+51/602+10/603 = 1.4142，正是按畢達哥拉斯定理算出來的單位正方形對角線的長，左上角有數字30√2，表示正方形一邊是30，因此對角線的長是30√2，即對角線第二行所寫，30√2 = 42 25 35 = 42 +25/60+35/602。
由此可判斷，巴比倫人早就已經知道畢達哥拉斯定理了。
十、畢氏定理的證明
據說畢達哥拉斯本人發現此定理時，欣喜萬分，他宰了一百頭牛來祭拜掌管文藝、科學的繆斯（Muses）女神，以酬謝神的啟示。畢達哥拉斯如何證明此定理，現在已無法考證，目前最早保留下來的畢氏定理證明方法被記載於歐幾里德（Euclid）〈幾何原本〉（Elements）第Ⅰ卷。在該書中，
歐幾里德將畢達哥拉斯定理敘述為：直角三角形中，直角所對斜邊上的正方形，等於夾直角兩邊上的正方形的和。
它的證明如下：
圖9：歐幾里德對畢達哥拉斯定理的證明
如圖9，△ADC＝△ABJ（因為∠DAC＝∠BAJ，AD＝AB，AJ＝AC）；平行四邊形ALKD面積等於△CAD面積的二倍（平行四邊形ALKD的面積是‧DK，△CAD面積是1/2 AD‧DK），正方形AJHC面積等於△ABJ面積的二倍（因為正方形AJHC面積等於AJ‧AC，△ABJ的面積是 AJ‧AC），
所以平行四邊形ALKD等於正方形AJHC，
同理：平行四邊形LBEK等於正方形BCGF，
所以正方形ABED等於正方形AJHC與正方形BCGF，
所以直角三角形中，斜邊上的正方形面積等於夾直角兩邊上正方形的和。
十一、中國人趙爽在三世紀也證明畢氏定理
畢達哥拉斯定理是歐幾里德〈幾何原本〉書中的一個重要定理，這個定理的證明方法，現在已知多達三百多種。在中國關於畢達哥拉斯定理的證明，最早見於趙爽（Zhao Shuang，中國人，西元3世紀）的〈周髀算經〉注，他利用“弦圖”（圖10）證明了畢達哥拉斯定理。
圖10：趙爽對畢達哥拉斯定理的證明圖