毕达哥拉斯(2)〈毕达哥拉斯定理的证明人〉江铭辉 五梦网
五、数为万物的源本
毕达哥拉斯学派将抽象的「数」视为万物的源本，他们研究数的目的是想利用神秘的数作为工具，来探讨宇宙永恒的真理。整数对他们来说，都有特殊的意义。例如：奇数有男性特质，而偶数有女性特质；1是最基本的，也是万物不变的根源，由1可产生其他的数，因此1为推理数；2是第一个「女性数」；4代表正义；5代表婚姻，因为它是2和3的和（2是第一个女性数，而3是第一个真正的男性数）；6代表上帝创世有6天；8是爱情，因为八度音最和谐；10表示奇迹、完美……等等。毕达哥拉斯学派也把正五边形之对角线组成一个五角星，这个图形是健康的象征，毕达哥拉斯学派把它当作会员的识别符号（图2）。在对「数」进行深入的研究之后，毕达哥拉斯学派发现到数与音乐的和谐的关系、数与几何图形的关系，数与天体运行的关系……等等。
图2：「五角星」，毕达哥拉斯学派把它当作会员识别符号
因为「数」为万物的源本，他们把整个学习内容分为四大部分，即：
(1)数的绝对理论：算术。
(2)数的应用：音乐。
(3)静止的量：几何。
(4)运动的量：天文。
上述四项，合起来叫四道（quadrivium），即四条道路的意思，这名称一直沿用到中世纪。
在所有「数」中，毕达哥拉斯特别讨厌17这个数。因为它正好在16与18之间，而16和18是仅有的自然数，它正好同时等于一个矩形或正方形的面积或周长。
例如边长是4的正方形，它的面积是16，边长和也是16；边长是3与6的矩形，面积是18，边长的和也是18。
至于还有没有别的自然数会满足这个条件？我们说：「有没」，理由如下：
设矩形的两边是X、 Y，则XY＝2X＋2Y，
即：Y=2X/(X-2)=2+4/(X-2)
方程式中的X只可能取3, 4, 6，对应的Y是6, 4, 3。因此，一个矩形或正方形，它有相等的面积(XY)和周长(2X＋2Y)只能是16和18两个数。
六、希腊音乐理论的开山鼻祖
毕达哥拉斯学派非常着迷于数与音乐的研究，他们发现如果将弦拉紧并将两端固定，弹出一个音调；再取该弦长度的1/2，则会弹出波长为1/2，频率高一倍的音调；又取弦长的1/3，则可调波长为1/3，频率为3倍的音调；……如此弦的振动频率成1, 2, 3……增加，而波长成1/1，1/2，1/3，……递减（如图3），这些音调如一起合奏会令人感觉悦耳。因此1，1/2，1/3，……便称为调和数列，这也是调和数列名称的起源。毕达哥拉斯将数字观念应用在音乐上，对希腊和后来的欧洲音乐理论产生极为深远的影响。也使他赢得希腊音乐理论的开山鼻祖。
图3：弦的振动波长随弦振动的长度成一定比率递减后，会奏出和谐音乐，此为调和数列的由来。
图4：十五世纪意大利音乐家想象毕达哥拉斯用弦证明和谐的音乐理论
如果一个数等于“本身以外的全部因子之和”，这个数叫做完全数。例如正整数6，有因子1, 2, 3，而6＝1＋2＋3，所以6是个完全数，又正整数28，有因子1, 2, 4, 7, 14而1＋2＋4＋7＋14＝28，所以28也是完全数。有人做过统计，在1至4千万之间，只有7个完全数，它们是6, 28, 496, 8128, 120816, 2096128, 33550336，可见完全数在自然数中是非常稀少的。如果有二数，每一数所有因子（不包括本身）的和等于另一数，则此二数称为亲和数，例如220和284是最早发现的一对亲和数。因为220的因子为1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110，它们的和为284，而284的因子为1, 2, 4, 71, 142，它们的和为220。这对亲和数首先由毕达哥拉斯学派所发现。继220和284这对亲和数被发现后，直到1636年才由法国数学家费玛（P. de Fermat）发现了第二对亲和数17296、18416。不久法国哲学家兼数学家笛卡尔（R. Descartes）也发现了第三对亲和数9363584, 9437056。18世纪瑞士数学家尤拉（L. Euler）（图5），一口气发现60对亲和数。总之，一万以内亲和数仅有5对，它们是：（220, 284）；（1184, 1210）；（2620, 2924）；（5020, 5564）；（6232, 6368）。至今已发现的亲和数有1200多对，但亲和数的“对数”究竟是有限或无限，目前尚不清楚。
图5：尤拉（L. Euler, 1707～1783年）瑞士数学家，18世纪的数学界泰斗，他与阿基米得、牛顿和高斯并称为数学四大名家。