畢達哥拉斯(2)〈畢達哥拉斯定理的證明人〉江銘輝五夢網
五、數為萬物的源本
畢達哥拉斯學派將抽象的「數」視為萬物的源本，他們研究數的目的是想利用神祕的數作為工具，來探討宇宙永恆的真理。整數對他們來說，都有特殊的意義。例如：奇數有男性特質，而偶數有女性特質；1是最基本的，也是萬物不變的根源，由1可產生其他的數，因此1為推理數；2是第一個「女性數」；4代表正義；5代表婚姻，因為它是2和3的和（2是第一個女性數，而3是第一個真正的男性數）；6代表上帝創世有6天；8是愛情，因為八度音最和諧；10表示奇蹟、完美……等等。畢達哥拉斯學派也把正五邊形之對角線組成一個五角星，這個圖形是健康的象徵，畢達哥拉斯學派把它當作會員的識別符號（圖2）。在對「數」進行深入的研究之後，畢達哥拉斯學派發現到數與音樂的和諧的關係、數與幾何圖形的關係，數與天體運行的關係……等等。
圖2：「五角星」，畢達哥拉斯學派把它當作會員識別符號
因為「數」為萬物的源本，於是他們的學派把整個學習內容分為四大部分，即：
(1)數的絕對理論：算術。
(2)數的應用：音樂。
(3)靜止的量：幾何。
(4)運動的量：天文。
上述四項，合起來叫四道（quadrivium），即四條道路的意思，這名稱一直沿用到中世紀。
在所有「數」中，畢達哥拉斯特別討厭17這個數。因為它正好在16與18之間，而16和18是僅有的自然數，它正好同時等於一個矩形（或正方形）的面積或周長。
例如邊長是4的正方形，它的面積是16，四邊長度的和也是16；邊長是3與6的矩形，面積是18，四邊長的和也是18。
至於還有沒有別的自然數會滿足這個條件？我們說：「有沒」，理由如下：
設矩形的兩邊是X、 Y，則XY＝2X＋2Y，
即：Y=2X/(X-2)=2+4/(X-2)
方程式中的X只可能取3, 4, 6，對應的Y是6, 4, 3。因此，一個矩形（或正方形），它有相等的面積(XY)和周長(2X＋2Y)只能是16和18兩數罷了。
六、希臘音樂理論的開山鼻祖
畢達哥拉斯學派非常著迷於數與音樂的研究，他們發現如果將弦拉緊並將兩端固定，彈出一個音調；再取該弦長度的1/2，則會彈出波長為1/2，頻率高一倍的音調；又取弦長的1/3，則可調波長為1/3，頻率為3倍的音調；……如此弦的振動頻率成1, 2, 3……增加，而波長成1/1，1/2，1/3，……遞減（如圖2；3），這些音調如一起合奏會令人感覺和諧悅耳。因此1，1/2，1/3，1/4，……便稱為調和數列，這也是調和數列名稱的起源。畢達哥拉斯將數字觀念應用在音樂上，對希臘和後來的歐洲音樂理論產生極為深遠的影響。也使他贏得希臘音樂理論的開山鼻祖。
圖3：弦的振動波長隨弦振動的長度成一定比率遞減後，會奏出和諧音樂，此為調和數列的由來。
圖4：十五世紀意大利音樂家想像畢達哥拉斯用弦證明和諧的音樂理論
如果一個數等於“本身以外的全部因子之和”，這個數叫做完全數。例如正整數6，有因數1, 2, 3，而6＝1＋2＋3，所以6是個完全數，又正整數28，有因數1, 2, 4, 7, 14而1＋2＋4＋7＋14＝28，所以28也是完全數。有人做過統計，在1至4千萬之間，只有7個完全數，它們是6, 28, 496, 8128, 120816, 2096128, 33550336，可見完全數在自然數中是非常稀少的。如果有二數，每一數所有因數（不包括本身）的和等於另一數，則此二數稱為親和數，例如220和284是最早發現的一對親和數。因為220的因數為1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110，它們的和為284，而284的因數為1, 2, 4, 71, 142，它們的和為220。這對親和數首先由畢達哥拉斯學派所發現。繼220和284這對親和數被發現後，直到1636年才由法國數學家費瑪（P. de Fermat）發現了第二對親和數17296、18416。不久法國哲學家兼數學家笛卡爾（R. Descartes）也發現了第三對親和數9363584, 9437056。18世紀瑞士數學家尤拉（L. Euler）（圖5），一口氣發現60對親和數。總之，一萬以內親和數僅有5對，它們是：（220, 284）；（1184, 1210）；（2620, 2924）；（5020, 5564）；（6232, 6368）。至今已發現的親和數有1200多對，但親和數的“對數”究竟是有限或無限，目前尚不清楚。
圖5：尤拉（L. Euler, 1707～1783年）瑞士數學家，18世紀的數學界泰斗，他與阿基米德、牛頓和高斯並稱為數學四大名家。