方程式及其解 江铭辉 五梦网
什么是方程式？这是数学叙述的名称，先看一些日常生活的叙述：
今天是星期天。
我住北京。
7后面的正整数是8。
在上面各叙述中，我们表示“今天”和“星期天”是同一日期，但不同说法，我住的城市和北京是同一地点，只是说法不同；同样7后面的正整数和8还是同一个数目，也是说法不同。
这种同一件事情，不同的说法，可以用等号“＝”来表示，例如：
3＋5＝8；7×4＝28；我住的城市＝北京市
一个数学叙述或一个方程式可能是正确的，也可能是错误的。
但在包含变量的方程式如：6x－3＝7＋x之中，我们很难说这个叙述是对的或是错的，因为我们并不知道x代表是什么数？
但有些方程式，x的值代入之后，这个方程式就变成“真”，如果是这样的话，那么我们叫x为这方程式的解。
有些含变量的方程式可以一眼就看出其解，例如：
3＋x＝5的解是2。(这个方程式，除用2代入之外，其他值代入上面的方程式，都是假的。)
又如：
(x－1)(x－2)( x＋3)＝0的解是1、2、－3。
有的方程式不管x用什么数代入都不可能是真，这时我们说它无解。例如：
2＋x＝3＋x
x无论用什么数目代入，方程式2＋x＝3＋x都不能成立，因此无解。
又如方程式：x2＝4。
如果x只代表自然数，方程式x2＝4的解是2，但如果x代表整数，则其解变成＋2与－2。
有时方程式不易用观察找出其解，可以换成一种较易求解的方程式，而有相同的解。
比较下面二个句子：
1. 今天是元月一日
2. 今天是元旦
第一个句子要是对的话，则保证第二个句子也是对的。我们用“若……则……”来表示这种现象，以“→”符号来表示，即若今天是元月一日则今天是元旦。或写成今天是元月一日→今天是元旦。
反过来说，第二个句子要是对的话，则保证第一个句子也是成立。即可说：若今天是元旦则今天是元月一日。或写成今天是元旦元月一日→今天是元月一日。
合并上述二个句子，可以用若且唯若(中国大陆称作当且仅当)或数学符号“↔”来表示。
因此今天是元月一日若且唯若(当且仅当)今天是元旦，可写成今天是元月一日↔今天是元旦。总之这二句话有等价关系。
如果句子用数学方程式写出，则称为等价方程式。
如以x代表星期几，则1990年元旦是星期几，可写成若且唯若(当且仅当) 1990年元旦是星期x，1990年元月一日是星期x，或1990年元旦是星期x↔1990年元月一日是星期x。
二边式子的x解都相同，但日历只印元月一日，很少标明元旦二个字，所以如果有人问1990年元旦是星期几，我们只好先去查1990年元月一日是星期几，答案是1990年元月一日是星期一。然后再答复1990年元旦是星期一。
由于等价的方程式有相同的解，因此复杂不易解的方程式可以换成简单易解的等价方程式，以求其解。
在日常生活中，判断二个句子是否等价或是要找一个句子的说法，或许不难，但对于复杂的数学方程式，要找一个等价且容易解出的式子，则需要系统的方法，这个系统的方法则需靠熟练的数学技巧。以下是简单的数学等价例子：
“x＝4”这个句子，很明显只有x是4才能成立，现在看x＋1＝5，也是x是4时，才成立，因此x＝4与x＋1＝5是等价。
下面的式子都是等价：
x＝4↔ x＋1＝5＝4＋1
x＝4↔ x＋2＝6＝4＋2
……
……
x＝4↔ x＋n＝4＋n (n是任一数)
从上面叙述知道，在方程式二边同时加一数就得到另一等价方程式，在二边同时减一数也一样，而且同加(减)一数也不一定要固定数，即使是变量也可以。当方程式作代数减化时，不改变其等价式子。
有一个方法，配合自己的数学技巧，可以逐步化成简单的等价方程式。这种方法叫递移性。即：
A↔B，B↔C，则C↔A。
先看下面例子：
6x－3＝7＋x
↔6x－3＋3＝7＋x＋3 (二边加3)
↔6x＝10＋x(化简)
↔6x－x＝10＋x－x(二边减x)
↔5x＝10(化简)
↔ x＝2 (二边除以5)
得到6x－3＝7＋x的解是2。
现在我们来解日常生活有关的方程式问题，如下：
一位先生带着太太和小孩假日出外旅游，车费共120元，已知小孩的车费是大人的一半，问每个人各花多少车费？
这个问题应该也不难解，不过需引入一种新的抽象步骤，也就是说我们抽象的对象(车费)还不知道。
第一步，先写下方程式：
(一个大人车费：先生)＋(一个大人车费：太太) ＋(一个小孩车费：孩子)＝120元……(1)
每个人的车费都是一个数字，因此可以用变量代表。例如令一个大人车费是x元，则小孩车费是(1/2)x元
于是方程式(1)就是：
x元＋x元＋(1/2) x元＝120元……(2)
现在我们将方程式(2)简化
x元＋x元＋(1/2) x元＝120元
↔ 2x元＋2x元＋x元＝240元(二边乘以2)
↔5x＝240元(化简)
↔ x＝48元
表示大人车费是48元，小孩车费是24元。