方程式及其解 江銘輝 五夢網
什麼是方程式？這是數學敘述的名稱，先看一些日常生活的敘述：
今天是星期天。
我住北京。
7後面的正整數是8。
在上面各敘述中，我們表示 “今天”和“星期天”是同一日期，但不同說法，我住的城市和北京是同一地點，只是說法不同；同樣7後面的正整數和8還是同一個數目，也是說法不同。
這種同一件事情，不同的說法，可以用等號“＝”來表示，例如：
3＋5＝8；7×4＝28；我住的城市＝北京市
一個數學敘述或一個方程式可能是正確的，也可能是錯誤的。
但在包含變數的方程式如：6x－3＝7＋x之中，我們很難說這個敘述是對的或是錯的，因為我們並不知道x代表是什麼數？
但有些方程式，x的值代入之後，這個方程式就變成“真”，如果是這樣的話，那麼我們叫x為這方程式的解。
有些含變數的方程式可以一眼就看出其解，例如：
3＋x＝5的解是2。(這個方程式，除用2代入之外，其他值代入上面的方程式，都是假的。)
又如：
(x－1)(x－2)( x＋3)＝0的解是1、2、－3。
有的方程式不管x用什麼數代入都不可能是真，這時我們說它無解。例如：
2＋x＝3＋x
x無論用什麼數目代入，方程式2＋x＝3＋x都不能成立，因此無解。
又如方程式：x2＝4。
如果x只代表自然數，方程式x2＝4的解是2，但如果x代表整數，則其解變成＋2與－2。
有時方程式不易用觀察找出其解，可以換成一種較易求解的方程式，而有相同的解。
比較下面二個句子：
1. 今天是元月一日
2. 今天是元旦
第一個句子要是對的話，則保證第二個句子也是對的。我們用“若……則……”來表示這種現象，以“→”符號來表示，即若今天是元月一日則今天是元旦。或寫成今天是元月一日→今天是元旦。
反過來說，第二個句子要是對的話，則保證第一個句子也是成立。即可說：若今天是元旦則今天是元月一日。或寫成今天是元旦元月一日→今天是元月一日。
合併上述二個句子，可以用若且唯若(中國大陸稱作當且僅當)或數學符號“↔”來表示。
因此今天是元月一日若且唯若(當且僅當)今天是元旦，可寫成今天是元月一日↔今天是元旦。總之這二句話有等價關係。
如果句子用數學方程式寫出，則稱為等價方程式。
如以x代表星期幾，則1990年元旦是星期幾，可寫成若且唯若(當且僅當) 1990年元旦是星期x，1990年元月一日是星期x，或1990年元旦是星期x↔1990年元月一日是星期x。
二邊式子的x解都相同，但日曆只印元月一日，很少標明元旦二個字，所以如果有人問1990年元旦是星期幾，我們只好先去查1990年元月一日是星期幾，答案是1990年元月一日是星期一。然後再答覆1990年元旦是星期一。
由於等價的方程式有相同的解，因此複雜不易解的方程式可以換成簡單易解的等價方程式，以求其解。
在日常生活中，判斷二個句子是否等價或是要找一個句子的說法，或許不難，但對於複雜的數學方程式，要找一個等價且容易解出的式子，則需要系統的方法，這個系統的方法則需靠熟練的數學技巧。以下是簡單的數學等價例子：
“x＝4”這個句子，很明顯只有x是4才能成立，現在看x＋1＝5，也是x是4時，才成立，因此x＝4與x＋1＝5是等價。
下面的式子都是等價：
x＝4↔ x＋1＝5＝4＋1
x＝4↔ x＋2＝6＝4＋2
……
……
x＝4↔ x＋n＝4＋n (n是任一數)
從上面敘述知道，在方程式二邊同時加一數就得到另一等價方程式，在二邊同時減一數也一樣，而且同加(減)一數也不一定要固定數，即使是變數也可以。當方程式作代數減化時，不改變其等價式子。
有一個方法，配合自己的數學技巧，可以逐步化成簡單的等價方程式。這種方法叫遞移性。即：
A↔B，B↔C，則C↔A。
先看下面例子：
6x－3＝7＋x
↔6x－3＋3＝7＋x＋3 (二邊加3)
↔6x＝10＋x(化簡)
↔6x－x＝10＋x－x(二邊減x)
↔ x＝2 (二邊除以5)
得到6x－3＝7＋x的解是2。
現在我們來解日常生活有關的方程式問題，如下：
一位先生帶著太太和小孩假日出外旅遊，車費共120元，已知小孩的車費是大人的一半，問每個人各花多少車費？
這個問題應該也不難解，不過需引入一種新的抽象步驟，也就是説我們抽象的對象(車費)還不知道。
第一步，先寫下方程式：
(一個大人車費：先生)＋(一個大人車費：太太) ＋(一個小孩車費：孩子)＝120元……(1)
每個人的車費都是一個數字，因此可以用變數代表。例如令一個大人車費是x元，則小孩車費是(1/2)x元
於是方程式(1)就是：
x元＋x元＋(1/2) x元＝120元……(2)
現在我們將方程式(2)簡化
x元＋x元＋(1/2) x元＝120元
↔ 2x元＋2x元＋x元＝240元(二邊乘以2)
↔5x＝240元(化簡)
↔ x＝48元
表示大人車費是48元，小孩車費是24元。