绑住卷筒的绳长 江铭辉 五梦网
问题：
将二条细绳各自牢牢地绑住三个及八个卷筒纸如图(1)、(2)，其每个卷筒纸的半径是10 cm，请问这两个细绳的长度分别是几cm？
图1（左边），图2（右边）
解答：
1. 提示一
图(1)因为细绳与纸卷相接部分的圆弧中心角为120°，所以此较简单。但是图(2)就比较难了。请再稍微想一下，这两者应该可以做相同思考的。
2. 提示二
如果要分别算出各个部分的长，就必须求出圆弧的中心角。但各别去算，可能不太容易，若从整体来观察，就会变成简单多了。
这个问题可以分为弧的部分与线段部分。只有线段部分是笔直延伸的，而弧的部分可以将它还原为圆。如果将所有弧的部分集中，刚好可以还原为一个圆，这就简单多了(这部分我们会在后面的详述)。
首先我们先计算直线的长度，这部份无论图(1)或图(2)都不相同，但很容易去算它。
图(1)细绳的长度是：20cm×3＝60cm
而图(2)细绳的长度则是：20cm×7＝140cm
至于弧的部分，无论图(1)、(2)都是20πcm
因此，图(1 ) 长度都是：60cm＋20πcm
图(1 ) 长度都是：140cm＋20πcm
现在我们讨论图(1)和图(2)的弧长。
如图3，三角形的内角是60度，因此弧的圆心角是360度－90度×2－60度＝120度。
图3：
且三个弧都是120度，所以三个弧长共计：圆周长×(120度/360度)×3＝圆周长＝20πcm。
如图4，7边形(A、B、C、D、E、F、G)的内角和是180度×(7－2)＝900度
这七个弧的圆心角是7×360度－90度×2×7－900度＝360度
所以将所有弧的部分集中，刚好可以还原为一个圆。换句话说，7边形的圆弧部分是一个圆周长。
图4：
现在我们将此问题一般化，假设它的外围有n个圆，则连接n个圆的圆心，得一个n边形，此n边形的内角和是180度×(n－2)
所有n个圆的弧形集合是360度×n－180度×(n－2)－90度×2×n＝360度，仍然是一个圆周角。