綁住捲筒的繩長 江銘輝 五夢網
問題：
將二條細繩各自牢牢地綁住三個及八個捲筒紙如圖(1)、(2)，其每個捲筒紙的半徑是10 cm，請問這兩個細繩的長度分別是幾cm？
圖1（左邊），圖2（右邊）
解答：
1. 提示一
圖(1)因為細繩與紙卷相接部分的圓弧中心角為120°，所以此較簡單。但是圖(2)就比較難了。請再稍微想一下，這兩者應該可以做相同思考的。
2. 提示二
如果要分別算出各個部分的長，就必須求出圓弧的中心角。但各別去算，可能不太容易，若從整體來觀察，就會變成簡單多了。
這個問題可以分為弧的部分與線段部分。只有線段部分是筆直延伸的，而弧的部分可以將它還原為圓。如果將所有弧的部分集中，剛好可以還原為一個圓，這就簡單多了(這部分我們會在後面的詳述)。
首先我們先計算直線的長度，這部份無論圖(1)或圖(2)都不相同，但很容易去算它。
圖(1)細繩的長度是：20cm×3＝60cm
而圖(2)細繩的長度則是：20cm×7＝140cm
至於弧的部分，無論圖(1)、(2)都是20πcm
因此，圖(1 ) 長度都是：60cm＋20πcm
圖(1 ) 長度都是：140cm＋20πcm
現在我們討論圖(1)和圖(2)的弧長。
如圖3，三角形的內角是60度，因此弧的圓心角是360度－90度×2－60度＝120度。
圖3：
且三個弧都是120度，所以三個弧長共計：圓周長×(120度/360度)×3＝圓周長＝20πcm。
如圖4，7邊形(A、B、C、D、E、F、G)的內角和是180度×(7－2)＝900度
這七個弧的圓心角是7×360度－90度×2×7－900度＝360度
所以將所有弧的部分集中，剛好可以還原為一個圓。換句話說，7邊形的圓弧部分是一個圓周長。
圖4：
現在我們將此問題一般化，假設它的外圍有n個圓，則連接n個圓的圓心，得一個n邊形，此n邊形的內角和是180度×(n－2)
所有n個圓的弧形集合是360度×n－180度×(n－2)－90度×2×n＝360度，仍然是一個圓周角。