奇妙的油漆问题 江铭辉 五梦网
有正五角形及正六角形，正五角形及正六角形分别用相同的圆15个，和18个围住，现在要把正五角形和正六角形内部的圆和外部的圆，分别漆上红色及蓝色（如，请问须多少红色及蓝色的油漆，又蓝色的油漆比红色的油漆多多少？如果任意多边形又如何？
图1：正五角形涂漆问题
图2：正六角形涂漆问题
解答：
涂在外侧的蓝色油漆，量似乎应该比较多。但是，实际多多少呢？
仔细看看图1。除了位于正五角形顶点的圆之外，剩下的部分，蓝色与红色的面积刚好各占一半。所以只要考虑位于五个顶点的圆的情况就可以了。
现在我们考虑求五个顶点红色扇形面积，只要知道圆心角的大小，就能求出红色扇形面积。它等于等于正五角形一个内角的大小。理由如下：
五角形的内角和为：
180×(5－2)＝540度
将它除以5，就是108度。
因此，令圆的半径为r，红色部分面积是:
πr2×(108°/360°)×5＝(3/2) πr2……(1)
黄色面积就是五个圆的面积减去(1)，即：
5πr2－(3/2) πr2＝(7/2) πr2……(2)
将(2)－(1)就是2πr2，所以黄色油漆要多涂两圆的面积。
接下来我们讨论六角形的问题。
只要考虑这6个圆的扇形面积就可以了。对六角形内角和为:
180×(6－2)＝180X4＝720度
将它除以6，就是六角形一个内角的大小120度。
令圆的半径为r，红色部分面积是:
πr2×(120°/360°)×6＝2πr2……(3)
黄色面积就是六个圆的面积减去(1)，即：
6πr2－2πr2＝4 πr2……(4)
将(3)－(4)就是2πr2，所以黄色油漆要多涂两圆的面积。
又是2πr2……也就是二个圆的面积，因此不论是正五角形还是正六角形，外侧部分都比内侧部分多出两个圆面积。
由此我们可以归纳外侧部分比内侧部分多出两个圆面积，是不论多少个圆的情形下皆可成立?就太有趣了！比波斯:周围的形状如何?就画几个圆试试看吧！
图3：多边形涂漆问题
我们随便画一个23个圆（图3）。刚刚只要考虑位于顶点的圆，现在没有顶点了？同时我们并不知道各个圆心角的角度，既然不知道各个圆心角的角度，那就全部集中，求出相当于集中起来之角度的扇形面积，如何？把圆心角就是多角形的内角和？就这样试试吧。23多边形的内角呵和是180度X(23－2)＝3780度。令圆的半径为r，角度360度相当于面积πr2，3780度的话，相当于总面积：
πr2×(3780°/360°)＝10.5πr2
这就是内侧扇形的全部面积，全部的圆面积减掉10.5πr2，就是外侧扇形的面积了。
23个i圆的面积是23πr2，所以外侧扇形面积是23πr2－10.5πr2＝12.5πr2
读者看它们又是相差2πr2，刚好是两个圆面积。
因此我们可以大胆推测对n个圆的情形也是如此，我们就实际算算看吧!
这种情形的多角形为n角形。因此，内角和为:
180×(n－2)
内角扇形面积为：
πr2×[180°×(n－2) /360°]＝[(n－2)/2]πr2…..(5)
外侧扇形面积就是n个圆面积减去(5)，即：
nπr2－[(n－2)/2]πr2＝[(n＋2)/2]πr2……(6)
将(6)－(5)，求其差为：2πr2
果然是二个圆面积。