奇妙的油漆問題 江銘輝 五夢網
有正五角形及正六角形，正五角形及正六角形分別用相同的圓15個，和18個圍住，現在要把正五角形和正六角形內部的圓和外部的圓，分別漆上紅色及藍色（如，請問須多少紅色及藍色的油漆，又藍色的油漆比紅色的油漆多多少？如果任意多邊形又如何？
圖1：正五角形塗漆問題
圖2：正六角形塗漆問題
解答：
塗在外側的藍色油漆，量似乎應該比較多。但是，實際多多少呢？
仔細看看圖1。除了位於正五角形頂點的圓之外，剩下的部分，藍色與紅色的面積剛好各占一半。所以只要考慮位於五個頂點的圓的情況就可以了。
現在我們考慮求五個頂點紅色扇形面積，只要知道圓心角的大小，就能求出紅色扇形面積。它等於等於正五角形一個內角的大小。理由如下：
五角形的內角和為：
180×(5－2)＝540度
將它除以5，就是108度。
因此，令圓的半徑為 r，紅色部分面積是:
πr2×(108°/360°)×5＝(3/2) πr2……(1)
黃色面積就是五個圓的面積減去(1)，即：
5πr2－(3/2) πr2＝(7/2) πr2……(2)
將(2)－(1)就是2πr2，所以黃色油漆要多塗兩圓的面積。
接下來我們討論六角形的問題。
只要考慮這6個圓的扇形面積就可以了。對六角形內角和為:
180×(6－2)＝180X4＝720度
將它除以6，就是六角形一個內角的大小120度。
令圓的半徑為 r，紅色部分面積是:
πr2×(120°/360°)×6＝2πr2……(3)
黃色面積就是六個圓的面積減去(1)，即：
6πr2－2πr2＝4 πr2……(4)
將(3)－(4)就是2πr2，所以黃色油漆要多塗兩圓的面積。
又是2πr2……也就是二個圓的面積，因此不論是正五角形還是正六角形，外側部分都比內側部分多出兩個圓面積。
由此我們可以歸納外側部分比內側部分多出兩個圓面積，是不論多少個圓的情形下皆可成立?就太有趣了！比波斯:周圍的形狀如何?就畫幾個圓試試看吧！
圖3：多邊形塗漆問題
我們隨便畫一個23個圓（圖3）。剛剛只要考慮位於頂點的圓，現在沒有頂點了？同時我們並不知道各個圓心角的角度，既然不知道各個圓心角的角度，那就全部集中，求出相當於集中起來之角度的扇形面積，如何？把圓心角就是多角形的內角和？就這樣試試吧。23多邊形的內角呵和是180度X(23－2)＝3780度。令圓的半徑為r，角度360度相當於面積πr2，3780度的話，相當於總面積：
πr2×(3780°/360°)＝10.5πr2
這就是內側扇形的全部面積，全部的圓面積減掉10.5πr2，就是外側扇形的面積了。
23個i圓的面積是23πr2，所以外側扇形面積是23πr2－10.5πr2＝12.5πr2
讀者看它們又是相差2πr2，剛好是兩個圓面積。
因此我們可以大膽推測對n個圓的情形也是如此，我們就實際算算看吧!
這種情形的多角形為n角形。因此，內角和為:
180×(n－2)
內角扇形面積為：
πr2×[180°×(n－2) /360°]＝[(n－2)/2]πr2…..(5)
外側扇形面積就是n個圓面積減去(5)，即：
nπr2－[(n－2)/2]πr2＝[(n＋2)/2]πr2……(6)
將(6)－(5)，求其差為：2πr2
果然是二個圓面積。