失踪的一块钱 江铭辉 五梦网
本文参考：Mysteries & amusement in mathematics及Paradox Box二书
一、 好朋友的游山玩水
三个好朋友到一小镇游玩，找了一间旅社投宿。他们告诉旅社经理，只需一间大房三个人住就行了。于是，经理命一服务生带他们去看房间是否适合？他们看后，非常满意，便问服务生这个房间要多少钱？服务生说要60元一晚。于是，三人各付20元给服务生。
当服务生拿着钱到账房付钱时，经理刚好在那里。他说：「旅社正在促销，该间房现在只收费55元而已。」管帐随即取出5张1元钞票，吩咐服务生交回给客人。
服务生拿着钱心想：
「5元由三人平分，并非一个整数。这不是太麻烦吗？我不如交还每人1元，这岂不更方便？何况他们也不知道这房间的真正价钱，只要有钱退回，他们便心满意足了。」
于是，服务生便按自己的想法去做了。但当他还钱给客人的时候，即发现有点不对。因为，那三个客人实际各付出19元，即共只付出57元。他自己取了2元。但是57元+2元＝59元。但明明这三人最初共付了60元的。那余下的1元去了何处？
请想想，那失踪的1元在何处？
这问题的关键在于服务生自己搅错，那三个客人实际上只付57元（因为三位客人原先付60元，服务生退3元给他们），服务生自己拿了2元，剩下的55元缴到账房，这是无庸置疑的。
但现在服务生却将自己的2元加在三旅客付的57元，这样的加法是无意义的，因为服务生的2元是从旅客的57元拿出来的。
二、 少一元？
同样的，马丁.加德纳（Martin Gardner）在他的矛盾集锦（Paradox Box ）一书的一块钱那里去？也有异曲同工的记载。
如果有一个卖杂货店的老板，他有30块肥皂，它两块卖一元，另外30块肥皂一元可买三块，当天，这60块肥皂全卖完了。收入25元。
第二天，老板又拿出60块肥皂，包括30块肥皂，一元买两块，另外30块肥皂一元可买三块，交给伙计去卖。伙计想：
何必要这样麻烦呢？既然有一元买两块肥皂，也有一元买三块肥皂，何不把60块肥皂放在一起，按二元买5块来卖？也是一样的。
当商店关门时，60块肥皂全部按5块卖两元，全部卖光，但账簿上只记共卖24元，不是25元，少了1元，你认为这一元到那里去了?是不是伙计私吞了?还是给顾客找错了钱?
这是伙计把老板的原意，搞错了，老板原意是一种肥皂两块卖一元，也就是一块肥皂值：1/2元。
另一种肥皂三块卖一元，也就是一块肥皂值：1/3元。
也就是每2块肥皂卖1/2元＋1/3元＝5/6元：平均每块肥皂卖5/12元。
但伙计私自主张将5块卖给顾客二元，也就是每个卖2/5元
因此每卖一个肥皂，亏本5/12元－2/5元＝1/60元，他总共卖了60个肥皂，当然亏了一元。
三、分析
上面的例子是数字相差很小，看不出问题的漏洞，如果我们把题目的数字放的，我们就知道，问题出在哪里？
例如：
有30块肥皂，顾客一元可买一块肥皂，另外30块肥皂顾客一元可买五块肥皂，当天，杂货店把这60块肥皂全卖完了，收入36元。
但按伙计的算法是二元买6块肥皂，收入仅20元，相差更多，一看就知道算法不对。
现在我们对此悖论作一下分析，我们假设价格较高的肥皂是每张块b/a元，价格较低的肥皂每块卖d/c元。以上面的例子，贵的肥皂是一元两块，即每块1/2元;便宜的肥皂是一元3块。即每块1/3元。故a=2，c=3,b=d＝l。
假若所有肥皂都各以两种不同的价格出卖。则一块肥皂的平均价格是b/a和d/c之和的一半。如果两种肥皂混合起来，按一个价格卖。就是a＋c块肥皂卖b＋d元。一块肥皂的平均价格就变成(b＋d) /（a＋c）元，如果，两种卖法要一样多的钱，那就必须是:
(b/a＋d/c)/2＝(b＋d)/(a＋c)
这个等式要成立，只有a＝c
与b是否等于d，无关。
现在我们计算b/a＋d/c－2(b＋d) /（a＋c）＝[b/a－(b＋d)/(a＋c)]＋[d/c－(b＋d)/(a＋c)]＝（bc－ad）/[a(a＋c)]＋（ad－bc）/[c(a＋c)]＝[bc－ad）/[a(a＋c)](1－a/c)
假设b/a＞d/c，则：bc－ad＞0。
若a＝c，则二者相等（老板与伙计的想法一样）
若a＞c，则二者之差为负（老板想法卖得少，伙计的想法卖得多）
若a＜c，则二者之差为正（老板想法卖得多，伙计的想法卖得少）