失蹤的一塊錢 江銘輝 五夢網
本文參考：Mysteries & amusement in mathematics及Paradox Box二書
一、 好朋友的遊山玩水
三個好朋友到一小鎮遊玩，找了一間旅社投宿。他們告訴旅社經理，只需一間大房三個人住就行了。於是，經理命一服務生帶他們去看房間是否適合？他們看後，非常滿意，便問服務生這個房間要多少錢？服務生說要60元一晚。於是，三人各付20元給服務生。
當服務生拿著錢到帳房付錢時，經理剛好在那裡。他說：「旅社正在促銷，該間房現在只收費55元而已。」管帳隨即取出5張1元鈔票，吩咐服務生交回給客人。
服務生拿著錢心想：
「5元由三人平分，並非一個整數。這不是太麻煩嗎？我不如交還每人1元，這豈不更方便？何況他們也不知道這房間的真正價錢，只要有錢退回，他們便心滿意足了。」
於是，服務生便按自己的想法去做了。但當他還錢給客人的時候，即發現有點不對。因為，那三個客人實際各付出19元，即共只付出57元。他自己取了2元。但是57元+2元＝59元。但明明這三人最初共付了60元的。那餘下的1元去了何處？
請想想，那失蹤的1元在何處？
這問題的關鍵在於服務生自己攪錯，那三個客人實際上只付57元（因為三位客人原先付60元，服務生退3元給他們），服務生自己拿了2元，剩下的55元繳到帳房，這是無庸置疑的。
但現在服務生卻將自己的2元加在三旅客付的57元，這樣的加法是無意義的，因為服務生的2元是從旅客的57元拿出來的。
二、 少一元？
同樣的，馬丁.加德納（Martin Gardner）在他的矛盾集錦（Paradox Box ）一書的一塊錢那裏去？也有異曲同工的記載。
如果有一個賣雜貨店的老闆，他有30塊肥皂，它兩塊賣一元，另外30塊肥皂一元可買三塊，當天，這60塊肥皂全賣完了。收入25元。
第二天，老闆又拿出60塊肥皂，包括30塊肥皂，一元買兩塊，另外30塊肥皂一元可買三塊，交給伙計去賣。伙計想：
何必要這樣麻煩呢？既然有一元買兩塊肥皂，也有一元買三塊肥皂，何不把60塊肥皂放在一起，按二元買5塊來賣？也是一樣的。
當商店關門時，60塊肥皂全部按5塊賣兩元，全部賣光，但帳簿上只記共賣24元，不是25元，少了1元，你認為這一元到那裡去了?是不是伙計私吞了?還是給顧客找錯了錢?
這是伙計把老闆的原意，搞錯了，老闆原意是一種肥皂兩塊賣一元，也就是一塊肥皂值：1/2元。
另一種肥皂三塊賣一元，也就是一塊肥皂值：1/3元。
也就是每2塊肥皂賣1/2元＋1/3元＝5/6元：平均每塊肥皂賣5/12元。
但伙計私自主張將5塊賣給顧客二元，也就是每個賣2/5元
因此每賣一個肥皂，虧本5/12元－2/5元＝1/60元，他總共賣了60個肥皂，當然虧了一元。
三、分析
上面的例子是數字相差很小，看不出問題的漏洞，如果我們把題目的數字放的，我們就知道，問題出在哪裡？
例如：
有30塊肥皂，顧客一元可買一塊肥皂，另外30塊肥皂顧客一元可買五塊肥皂，當天，雜貨店把這60塊肥皂全賣完了，收入36元。
但按伙計的算法是二元買6塊肥皂，收入僅20元，相差更多，一看就知道算法不對。
現在我們對此悖論作一下分析，我們假設價格較高的肥皂是每張塊b/a元，價格較低的肥皂每塊賣d/c元。以上面的例子，貴的肥皂是一元兩塊，即每塊1/2元;便宜的肥皂是一元3塊。即每塊1/3元。故a=2，c=3,b=d＝l。
假若所有肥皂都各以兩種不同的價格出賣。則一塊肥皂的平均價格是b/a和d/c之和的一半。如果兩種肥皂混合起來，按一個價格賣。就是a＋c塊肥皂賣b＋d元。一塊肥皂的平均價格就變成(b＋d) /（a＋c）元，如果，兩種賣法要一樣多的錢，那就必須是:
(b/a＋d/c)/2＝(b＋d)/(a＋c)
這個等式要成立，只有a＝c
與b是否等於d，無關。
現在我們計算b/a＋d/c－2(b＋d) /（a＋c）＝[b/a－(b＋d)/(a＋c)]＋[d/c－(b＋d)/(a＋c)]＝（bc－ad）/[a(a＋c)]＋（ad－bc）/[c(a＋c)]＝[bc－ad）/[a(a＋c)](1－a/c)
假設b/a＞d/c，則：bc－ad＞0。
若a＝c，則二者相等（老闆與伙計的想法一樣）
若a＞c，則二者之差為負（老闆想法賣得少，伙計的想法賣得多）
若a＜c，則二者之差為正（老闆想法賣得多，伙計的想法賣得少）