费马数与正多边形 江铭辉 五梦网
在1640年，法国数学家费马（Pierre de Fermat）提出一个猜想叫费马数，它是：
毫无疑问，当n＝0，1，2，3，4时Fn都是素数，因为这些值分别是3、5、17、252、
65537。但是，当n=6，F6
＝(28×1071＋1)( 28×262814145745＋1)并不是素数。后于1905年F7，也被人证明是个
复合数，它
是：
F7=2128+1=340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,457
=59,649,589,127,497,217 × 5,704,689,200,685,129,054,721
到目前为止，我们已经知道有46个费马数不是素数。它们是：n=5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、18、19、21、23、25、26、27、30、32、36、38、39、42、52、55、58、63、73、77、81、117、125、144、150、207、226、228、260、267、268、284、316、452、1945。最大的F1945有(1010)584位数。
目前我们仍未能肯定F17，是否是复合数。但一般人认为当≧5时，所有费马数均不是素数。
虽然并不是所有费马数都是素数，但它却和几何作图问题有关联，因为数学家证明了正奇边形的边数只有是费马素数或不同的费马素数乘积才可以标尺作图出来。
诚然，用圆规直尺作偶数的正多边形如2n、3×2n、5×2n等正多边形并非难事，但对奇数的正多边形如正3、5、7、9、11、13、15、17作图在当时来说并不是简单的事。1798年，德国数学家高斯(KARL GRIEDRICH GAUSS) ，当时只有19岁，他成功的以圆规直尺作出一个正17边形来，并证明了奇数正多边形的边数只有是费尔马素数或不同的费马素数之乘续，才可用直尺圆规作出。
反过来说，能够用直尺圆规作出的奇数正多边形的边数必是费马素数或不同的费马质致之乘积。当高斯去世后，人们为了纪念这位伟大的数学家，在他的故乡布伦兹维克(BRUNSCHWEIG)的纪念碑上刻了这个正17边形的图样。
由于目前我们知道只有五个费马素数存在。所以能用圆规直尺可作出的奇数正多边形是3、5、17、257、65537(也就是费马数F0～F4)，以及这五个数的乘积:3×5=15；3×17＝51；5×17＝85；3×5×17=225…等共只有31个。最大可用圆规直尺作出的正多边形是3×5×17×257×65537=4294967295。
当然，其他的如7，9，13，等奇数正多边形，因与费马数无关，因此不可能用圆规直尺作出的。
第一个费马素数是3，即正三角行，相信读者很容易用圆规直尺作出来。第二个费马素数是5。以圆规直尺作正五边形较简单方法如下(图1)
图1
(1)以任意长OA为半径作一半圆。
(2)过O点作OA垂线，交圆于B点。
(3)截取OC，使OC＝1/2 OB，连CA。
(4)平分∠OCA，其角平分线交OA于D。
(5)过D作OA垂线，交圆于E。
(6)连EA，则EA为正五边形的边长。
上图EA是五边形的边长。
第三个费马数是17，正17边形可用下面的方法求得，如图2
图2：
(1) 以任意长OA为半径作一半圆，过O作OA垂线交圆于B点。
(2) 截取OC，使OC＝1/4 OB，连CA。
(3) 作∠OCD，使∠OCD＝1/4∠OCA。
(4) 作∠ECD，使∠ECD＝45°。
(5) 以EA为直径作一半圆与OB相交于F。
(6) 以D为圆心，DF为半径作一半圆交OA于G和H，过G及H分则作垂直于OA的直线交大圆于J和K。
于是我们可得JK弧，它等于大圆的周长2/17，平分JK弧得R点，则KR或RJ之长就是所求的正17边的边长。
1898年数学家黎卓诺特 (RICHETOT)和斯云顿海姆(SCHWENDENHEIM)作出了一个正257边形。数学家赫摩斯(O.HERMES)也花了十年时光成功作出一个正65537边形，该图作法及证明的原稿竟充满了一大箱子，现存放于德国哥丁根(GOTTINGEN)大学内。