費馬數與正多邊形 江銘輝 五夢網
在1640年，法國數學家費馬（Pierre de Fermat）提出一個猜想叫費馬數，它是：
並認為所有的費馬數都是質數。
毫無疑問，當n＝0，1，2，3，4時Fn都是質數，因為這些值分別是3、5、17、252、
65537。但是，當n=6，F6
＝(28×1071＋1)( 28×262814145745＋1)。後於1905年F7，也被人證明是個複合數，它
是：
F7=2128+1=340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,457
=59,649,589,127,497,217 × 5,704,689,200,685,129,054,721
到目前為止，我們已經知道有46個費馬數不是質數。它們是：n=5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、18、19、21、23、25、26、27、30、32、36、38、39、42、52、55、58、63、73、77、81、117、125、144、150、207、226、228、260、267、268、284、316、452、1945。最大的F1945有(1010)584位數。
目前我們仍未能肯定F17，是否是複合數。但一般人認為當≧5時，所有費馬數均不是質數。
雖然並不是所有費馬數都是質數，但它卻和幾何作圖問題有關聯，因為數學家證明了正奇邊形的邊數只有是費馬質數或不同的費馬質數乘積才可以尺規作圖出來。
誠然，用圓規直尺作偶數的正多邊形如2n、3×2n、5×2n等正多邊形並非難事，但對奇數的正多邊形如正3、5、7、9、11、13、15、17作圖在當時來說並不是簡單的事。1798年，德國數學家高斯(KARL GRIEDRICH GAUSS) ，當時只有19歲，他成功的以圓規直尺作出一個正17邊形來，並證明了奇數正多邊形的邊數只有是費爾馬質數或不同的費馬質數之乘續，才可用直尺圓規作出。
反過來說，能夠用直尺圓規作出的奇數正多邊形的邊數必是費馬質數或不同的費馬質致之乘積。當高斯去世後，人們為了紀念這位偉大的數學家，在他的故鄉布倫茲維克(BRUNSCHWEIG)的紀念碑上刻了這個正17邊形的圖樣。
由於目前我們知道只有五個費馬質數存在。所以能用圓規直尺可作出的奇數正多邊形是3、5、17、257、65537(也就是費馬數F0～F4)，以及這五個數的乘積:3×5=15；3×17＝51；5×17＝85；3×5×17=225…等共只有31個。最大可用圓規直尺作出的正多邊形是3×5×17×257×65537=4294967295。
當然，其他的如7，9，13，等奇數正多邊形，因與費馬數無關，因此不可能用圓規直尺作出的。
第一個費馬質數是3，即正三角行，相信讀者很容易用圓規直尺作出來。第二個費馬質數是5。以圓規直尺作正五邊形較簡單方法如下(圖1)
圖1
(1)以任意長OA為半徑作一半圓。
(2)過O點作OA垂線，交圓於B點。
(3)截取OC，使OC＝1/2 OB，連CA。
(4)平分∠OCA，其角平分線交OA於D。
(5)過D作OA垂線，交圓於E。
(6)連EA，則EA為正五邊形的邊長。
上圖EA是五邊形的邊長。
第三個費馬數是17，正17邊形可用下面的方法求得，如圖2
圖2：
(1) 以任意長OA為半徑作一半圓，過O作OA垂線交圓於B點。
(2) 截取OC，使OC＝1/4 OB，連CA。
(3) 作∠OCD，使∠OCD＝1/4∠OCA。
(4) 作∠ECD，使∠ECD＝45°。
(5) 以EA為直徑作一半圓與OB相交於F。
(6) 以D為圓心，DF為半徑作一半圓交OA於G和H，過G及H分則作垂直於OA的直線交大圓於J和K。
於是我們可得JK弧，它等於大圓的周長2/17，平分JK弧得R點，則KR或RJ之長就是所求的正17邊的邊長。
1898年數學家黎卓諾特 (RICHETOT)和斯雲頓海姆(SCHWENDENHEIM)作出了一個正257邊形。數學家赫摩斯(O.HERMES)也花了十年時光成功作出一個正65537邊形，該圖作法及證明的原稿竟充滿了一大箱子，現存放於德國哥丁根(GOTTINGEN)大學內。