立体几何图形的一笔画问题 江铭辉 五梦网
所谓「一笔划」是指笔一旦碰了纸即不能离开纸，一直到画完才能离开，且同一个地方不能重复经过的画法。
一个平面图，能不能一笔划，有下面原则：
1.若在一笔划的图案有二点奇点存在，则它是一个当起始点，一个当终点。
2.没有奇点，也可画成一笔划，而且随便什么地方开始都行。
3.若在一笔划的图案超过2个奇点，则无法一笔划成。
上述原则，请参考本网站拙著：一笔划与科尼斯堡问题
一笔画问题大部分的人都讨论平面图的一笔画，其中最著名的是科尼斯堡问题。
现在我们来讨论较少人涉及的立体几何图形，我们来套讨论正多面体，正多面体是各面都为全等的正多角形，且在各顶点组成的正多角形都是全等的多面体。它只有五种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体及正二十面体如图。
图：正多面体
请问：现在如果对每个正面体，画上棱线，我们要经过每一条棱线，但同一条棱线不能通过二次，请问那一种正多面体可以满足此条件？
(1)正四面体
(2) 正六面体
(3) 正八面体
(4) 正十二面体
(5) 正二十面体
解答：
我们的答案是只有正八面体才能一笔画。
根据欧拉公式(V＋F＝E＋2)，V是顶点数，F是面数，E是棱线数，得下表：
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正多面体
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顶点数（V）
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面数（F）
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棱线数（E）
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正4面体
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4
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4
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6
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正6面体
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8
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6
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12
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正8面体
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6
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8
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12
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正12面体
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20
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12
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30
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正20面体
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12
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20
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30
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现在我们数数看，这五种正多面体，每一种正多面体顶点所连接的棱线数目，正4面体有4顶点，每个顶点连接奇数线（三棱线），正六面体有8顶点，每个顶点连接奇数线（三棱线），正八面体有6顶点，每个顶点连接偶数线，无奇线（四棱线），正十二面体有20顶点，每个顶点连接奇数线（三棱线），正二十面体有12顶点，每个顶点连接奇数线（五棱线）。
对于一笔画的原则，适用于平面图形，也适用立体图形，因此上述图形，除了正八面体之外，皆有超过2个以上的奇数点，故皆不能一笔画。至于正八面体，因为没有奇数点，故能一笔划且随便什么地方开始都行。