立體幾何圖形的一筆畫問題 江銘輝 五夢網
所謂「一筆劃」是指筆一旦碰了紙即不能離開紙，一直到畫完才能離開，且同一個地方不能重複經過的畫法。
一個平面圖，能不能一筆劃，有下面原則：
1.若在一筆劃的圖案有二點奇點存在，則它是一個當起始點，一個當終點。
2.沒有奇點，也可畫成一筆劃，而且隨便什麼地方開始都行。
3.若在一筆劃的圖案超過2個奇點，則無法一筆劃成。
上述原則，請參考本網站拙著：一筆劃與科尼斯堡問題
一筆畫問題大部分的人都討論平面圖的一筆畫，其中最著名的是科尼斯堡問題。
現在我們來討論較少人涉及的立體幾何圖形，我們來套討論正多面體，正多面體是各面都為全等的正多角形，且在各頂點組成的正多角形都是全等的多面體。它只有五種，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體及正二十面體如圖。
圖：正多面體
請問：現在如果對每個正面體，畫上稜線，我們要經過每一條稜線，但同一條稜線不能通過二次，請問那一種正多面體可以滿足此條件？
(1)正四面體
(2) 正六面體
(3) 正八面體
(4) 正十二面體
(5) 正二十面體
解答：
我們的答案是只有正八面體才能一筆畫。
根據歐拉公式(V＋F＝E＋2)，V是頂點數，F是面數，E是稜線數，得下表：
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正多面體
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頂點數（V）
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面數（F）
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稜線數（E）
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正4面體
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4
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4
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6
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正6面體
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8
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6
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12
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正8面體
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6
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8
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12
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正12面體
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20
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12
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30
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正20面體
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12
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20
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30
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現在我們數數看，這五種正多面體，每一種正多面體頂點所連接的稜線數目，正4面體有4頂點，每個頂點連接奇數線（三稜線），正六面體有8頂點，每個頂點連接奇數線（三稜線），正八面體有6頂點，每個頂點連接偶數線，無奇線（四稜線），正十二面體有20頂點，每個頂點連接奇數線（三稜線），正二十面體有12頂點，每個頂點連接奇數線（五稜線）。
對於一筆畫的原則，適用於平面圖形，也適用立體圖形，因此上述圖形，除了正八面體之外，皆有超過2個以上的奇數點，故皆不能一筆畫。至於正八面體，因為沒有奇數點，故能一筆劃且隨便什麼地方開始都行。