数一数，有几个三角形和长方形 江铭辉 五梦网
如图1，请问它大大小小总共有几个三角形？
在图1我们看到，图中的每一个三角形都以A为顶点，另外两个点分别是底边上B1、B2、B3、B4、B5、B6中的两个点，所以，从到B1到B6这6个点一共可以决定多少条线段，就有多少个三角形。
图1：
于是，图1中一共有多少个三角形的问题，转化成了底边上的6个点与顶点A，一共决定多少条线段的问题。
B1、B2、B3、B4、B5、B6这6个点到底一共决定多少条线段呢？我们采用两种方法来解决这问题：
第一种是直接去数，第二种是比较筒洁的算法、用排列组合的知识。
第一种方法：
老老实实地数，我们看到，线段B1、B2，与A够成三角形，同理B2、B3；B3、B4；B4、B5；B5、B6都会与A成三角形，总共有5个三角形。换言之，底边的6个点将底边分成了5小段。这5小段与顶点A成为一个三角形。
因此我们综合分析：
k＝1（代表底线一小线段与A点构成三角形），总共有B1、B2；B2、B3；B3、B4；B4、B5；B5、B6，共5个三角形。
k＝2（代表底线二小线段与A点构成三角形），总共有B1、B3；B2、B4；B3、B5；B4、B6，共4个三角形。
k＝3（代表底线三小线段与A点构成三角形），总共有B1、B4；B2、B5；B3、B6；，共3个三角形。
k＝4（代表底线四小线段与A点构成三角形），总共有B1、B5；B2、B6共2个三角形。
k＝5（代表底线五小线段与A点构成三角形），总共有B1、B6共1个三角形。
因此图1总共有三角形：5＋4＋3＋2＋1＝15个三角形。
第二种方法：利用排列组合的知识计算
从B1、B2、B3、B4、B5、B6这6个点，任取两点与A点可以构成三角形，从排列组合的公式，从六点中，任取2点的方法为nCr＝2C6＝6×5/2＝15
因此若像图1一样，若底线的点是n点，则可构成nC2三角形，即n(n－1)/2个三角形。
本题还可以进一步发展·如图2，总共有多少个矩形?
我们也可以通过两种思路解答这个问题，即直接算法和排列组合算法。
图2：
一、直接算法
图2中，横线段Ai (i=1、2、3、4)共有4条线段，纵线Bj(j＝1、2、3、4) 共有4条线段，我们直接数共有几个长方形。
1.一个长方形共9个
2.二个长方形共12个
3.三个长方形共6个
4.四个长方形共4个
5.五个长方形共0个
6.六个长方形共4个
7. 7,8个长方形共0个
8. 9个长方形共1个
所以图2长方形共9＋12＋6＋4＋4＋1＝36
二、排列组合算法
图2中的每一个矩形都可由二条水平的横线和二条垂直的纵线构成，图2共有横线4条，纵线也四条，横线和纵线各任意取2条，可构成所有长方形。
因此图2的长方形大大小小共：4C2×4C2＝36
这个问题可推广到任意得平行n条横线和m条纵线所构成的据矩形，它们总共有：
nC2×mC2＝(n×(n－1)/2)×(m×(m－1)/2)＝(n×(n－1)×m×(m－1)/4