數一數，有幾個三角形和長方形 江銘輝 五夢網
如圖1，請問它大大小小總共有幾個三角形？
在圖1我們看到，圖中的每一個三角形都以A為頂點，另外兩個點分別是底邊上B1、B2、B3、B4、B5、B6中的兩個點，所以，從到B1到B6這6個點一共可以決定多少條線段，就有多少個三角形。
圖1：
於是，圖1中一共有多少個三角形的問題，轉化成了底邊上的6個點與頂點A，一共決定多少條線段的問題。
B1、B2、B3、B4、B5、B6這6個點到底一共決定多少條線段呢？我們採用兩種方法來解決這問題：
第一種是直接去數，第二種是比較筒潔的算法、用排列組合的知識。
第一種方法：
老老實實地數，我們看到，線段B1、B2，與A夠成三角形，同理B2、B3；B3、B4；B4、B5；B5、B6都會與A成三角形，總共有5個三角形。換言之，底邊的6個點將底邊分成了5小段。這5小段與頂點A成為一個三角形。
因此我們綜合分析：
k＝1（代表底線一小線段與A點構成三角形），總共有B1、B2；B2、B3；B3、B4；B4、B5；B5、B6，共5個三角形。
k＝2（代表底線二小線段與A點構成三角形），總共有B1、B3；B2、B4；B3、B5；B4、B6，共4個三角形。
k＝3（代表底線三小線段與A點構成三角形），總共有B1、B4；B2、B5；B3、B6；，共3個三角形。
k＝4（代表底線四小線段與A點構成三角形），總共有B1、B5；B2、B6共2個三角形。
k＝5（代表底線五小線段與A點構成三角形），總共有B1、B6共1個三角形。
因此圖1總共有三角形：5＋4＋3＋2＋1＝15個三角形。
第二種方法：利用排列組合的知識計算
從B1、B2、B3、B4、B5、B6這6個點，任取兩點與A點可以構成三角形，從排列組合的公式，從六點中，任取2點的方法為nCr＝2C6＝6×5/2＝15
因此若像圖1一樣，若底線的點是n點，則可構成nC2三角形，即n(n－1)/2個三角形。
本題還可以進一步發展·如圖2，總共有多少個矩形?
我們也可以通過兩種思路解答這個問題，即直接算法和排列組合算法。
圖2：
一、直接算法
圖2中，橫線段Ai (i=1、2、3、4)共有4條線段，縱線Bj(j＝1、2、3、4) 共有4條線段，我們直接數共有幾個長方形。
1. 一個長方形共9個
2. 二個長方形共12個
3. 三個長方形共6個
4. 四個長方形共4個
5. 五個長方形共0個
6. 六個長方形共4個
7. 7,8個長方形共0個
8. 9個長方形共1個
所以圖2長方形共9＋12＋6＋4＋4＋1＝36
二、排列組合算法
圖2中的每一個矩形都可由二條水平的橫線和二條垂直的縱線構成，圖2共有橫線4條，縱線也四條，橫線和縱線各任意取2條，可構成所有長方形。
因此圖2的長方形大大小小共：4C2×4C2＝36
這個問題可推廣到任意得平行n條橫線和m條縱線所構成的據矩形，它們總共有：
nC2×mC2＝(n×(n－1)/2)×(m×(m－1)/2)＝(n×(n－1)×m×(m－1)/4