切几刀 江铭辉 五梦网
在庆祝小明生日时，恰巧来了15个朋友，小明拿出生日蛋糕，分享给所有朋友包括自己，共16份。但却出了诡异的要求，只切五刀，将蛋糕切成16块，请问用5刀，将蛋糕切成16块可能吗？
当场有一个朋友小江，用5刀将蛋糕切成16块(如图)，分给所有的人，当然所有蛋糕都不是均等，有大有小，喜欢吃蛋糕的人就拿大一点，有糖尿病不能吃甜的，就拿小块蛋糕。
图：用5刀将蛋糕切成16块
分析：
为了说明上述问题，我们直接讨论n条弦将一个圆分割成多少区域的问题。
经由实验，我们发现1条`弦分割2区域；2条`弦分割4区域：3条弦分割7区域：4条弦分割7区域11区域，请参考图1。
图1：弦与圆的切割。
有人继续实验下去，发现弦与圆的切割关系如下图：
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切割次数
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0
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1
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2
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3
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4
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5
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6
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7
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8
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9
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圆的区域
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1
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2
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4
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7
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11
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16
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22
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29
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37
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46
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注意上表第二行的数字前面的数字减去后面的数字为：
1，2，3，4，5，6，7，8，9，……（1）
将（1）式的前项减去后项，则为：
1，1，1，1，1，1，1，1，1，……
有这种关系的一般是二次函数。现在设y＝f(x)＝ax2＋bx＋c，y是圆被切割形成的区域，x是弦的数目。
我们现在的问题变成求a、b、c的值
当x＝1时，ax2＋bx＋c＝a＋b＋c＝2……（2）
x＝2时，ax2＋bx＋c＝4a＋2b＋c＝4……（3）
x＝3时，ax2＋bx＋c＝9a＋3b＋c＝7……（4）
将上述方程式，（3）－（2）；（4）－（3）
得：
3a＋b＝2
5a＋b＝3
得2a＝1，或a＝1/2，b＝1/2及c＝1，故：
y＝f(x)＝1/2x2＋1/2x＋c
因此画5弦时，y＝f(5)＝(1/2 )52＋(1/2) 5＋1＝16
如果将x用n代入，则：
y＝f(n)＝n2/2＋n /2＋1＝n(n＋1)/2＋1
也就是切了n次以后得到n(n＋1)/2＋1块的蛋糕。