»  數學  2012-08-11 切幾刀

切幾刀     江銘輝    五夢網

 
 
在慶祝小明生日時,恰巧來了15個朋友,小明拿出生日蛋糕,分享給所有朋友包括自己,共16份。但卻出了詭異的要求,只切五刀,將蛋糕切成16塊,請問用5刀,將蛋糕切成16塊可能嗎?
 
當場有一個朋友小江,用5刀將蛋糕切成16塊(如圖),分給所有的人,當然所有蛋糕都不是均等,有大有小,喜歡吃蛋糕的人就拿大一點,有糖尿病不能吃甜的,就拿小塊蛋糕。
 
圖:用5刀將蛋糕切成16塊
 
分析:
為了說明上述問題,我們直接討論n條弦將一個圓分割成多少區域的問題。
經由實驗,我們發現1條`弦分割2區域;2條`弦分割4區域:3條弦分割7區域:4條弦分割7區域11區域,請參考圖1。
 
 
 
 
圖1:弦與圓的切割
有人繼續實驗下去,發現弦與圓的切割關係如下圖:

切割次數
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
圓的區域
1
2
4
7
11
16
22
29
37
46

注意上表第二行的數字前面的數字減去後面的數字為
1,2,3,4,5,6,7,8,9,……(1)
將(1)式的前項減去後項,則為:
1,1,1,1,1,1,1,1,1,……
有這種關係的一般是二次函數。現在設y=f(x)=ax2+bx+c,y是圓被切割形成的區域,x是弦的數目。
我們現在的問題變成求a、b、c的值
當x=1時,ax2+bx+c=a+b+c=2……(2)
  x=2時,ax2+bx+c=4a+2b+c=4……(3)
   x=3時,ax2+bx+c=9a+3b+c=7……(4)
 
將上述方程式,(3)-(2);(4)-(3)
得:
3a+b=2
5a+b=3
得2a=1,或a=1/2,b=1/2及c=1,故:
y=f(x)=1/2x2+1/2x+c
因此畫5弦時,y=f(5)=(1/2 )52+(1/2) 5+1=16
如果將x用n代入,則:
y=f(n)=n2/2+ n /2+1=n(n+1)/2+1
也就是切了n次以後得到n(n+1)/2+1塊的蛋糕。

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