神秘的自守数 江铭辉 五梦网
(本文参考自青少年百科丛书，数学游戏故事，谈详柏、张景中编着)
如果某个数平方的末几位数等于这个数，那么这个数就称为自守数(Automorphic Number)。
例如5和6就是自守数。因为
52=25; 62＝36。
这两个数平方的结果，末尾仍然是5和6，不仅如此，任何两个整数相乘，只要它们的末位数都是5或者6，那么，乘积的末位数也必然仍旧是5或者6。例如：
65X55=3575；36X56=2016
说5和6是自守数。就是说它们有这样的特性。
个位数，除了5、6以外，1和0也有这样的特性，因为1×1＝1；0×0＝0，这是很明显的。但是因为它们太明显，同时5、6还可以延伸至2、3位，甚至于无穷位的自守数，而0、1，除了个位数以外，无法延伸到2位以上的自守数，所以一般讨论一位数中的自守数，不将1和0算进去，只说5和6是自守数了。
再看2位数的自守数到底有哪些？
76是一个两位数的自守数。因为：
76×76=5776;而且任何两个数以76结尾的自然数相乘，它的乘积也必然以76结尾。例如：
776X976=757376。
要是你乘这样的数，积的末两位不是76，那肯定你计算错了。不过，如果二个数目积的末两位是76，并不能保证被乘数和乘数的末尾是76。例如：212X48=10176。
在两位数中，还有一个25是自守数。此外，就没有两位的自守数了。不信你可以试一试。
往后3位、4位……的自守数都有一对，可说自守数自2位数以后，都是2个，因为它们都是从5、6延伸出来。
三位的自守数，它们是625和376，四位自守数是9376和0625（如果你不承认0625是5位数的自守数，因为它是从0开头的，那么4位数就也只有一个自守数了。），五位自守数是90625和09376（如果你不承认09376是5位数的自守数，因为它是从0开头的，那么5位数就也只有一个自守数了）。
对于自守数的位数，我们说它有无限位数呢？它是没有尽头。
加拿大有两位数学工作者利用电子计算器，已经算出了五百位的自守数。
下面两个一百位的自守数，是美国的加德纳在一篇文章中写出的，它们是：
3953007319108169802938509890062166509580863811000557
423423230896109004106619977392256259918212890625 ；
和
6046992680891830197061490109937833490419136188999442
576576769103890995893380022607743740081787109376。
这么大的自守数。是怎么找到的呢？说起来，这个办法很简单。只要x2－x能被10、102、103……10n 整除，求其x就行。
你要找个位数的自守数，只要找到这样的个位数x，使x2－x能被10整除就行了。很明显，这样的个位数，只有三个:1、5、6。
求两位的自守数，只要找到两位数的X，它使x2－x，能被100整除就行了。这样的x只有两个，我们从10开始验算至99为止，发现25和76符合x2－x，能被100整除。总共计算90次。
但对于三位数的自守数，如果也要这样一个一个试，则要试900次，四位数要试9000次，五位数要试90000次，越来越麻烦，有没有更简单的办法呢？
有！
首先你想，要是abcd是四位数的自守数，bcd是不是三位的自守数呢？我说一定是的。我们知道了三位自守数只有625和376，而二位数的自守数是25和76，个位数自守数是5、6，皆府符合这个原则，假设这个原则成立，我们要找的四位自守数，只有在a625和b376这种数去找了。即使一个一个地试，至多只要试二十次，也就把所有的四位自守数都找出来了。
同理，知道四位数的自守数，再试二十次，所有的五位自守数也有了，比起试90000次，工作量轻松上千倍。再试二十次，得到六位自守数。这就是动脑筋，找规律的好处。
但是试二十次才找到自守数，仍然麻烦，能不能不试二十次，就找到一个自守数呢？
能！
告诉你一个更简单的方法，把625这个三位的自守数相乘，得390625，取末四位0625。把625这个三位的自守数相乘，得390625，取末四位0625。这末尾就是四位数的自守数。不信。你试试。任何两个末尾是0625的数相乘，乘积的末尾还是0625。要是你不承认0625是四位数 (因为它是从0开始的)，那么，以5结尾的四位自守数就再也没有了。
把0625自乘，末尾五位是90625。这就是唯一的以5结尾的五位自守数。90625自乘，末尾六位是890625。这又得到了末尾是5的六位自守数。
这样找自守数，多方便，可靠不可靠呢？它的道理如下。
设a625是四位自守数，计算一下:
(a625)2＝(1000a十625)2＝106a2十125a×104＋6252，两边一比较，看出了诀窍，右边前两项末四位都是0，原来(a625)2的末四位和6252的末四位是一样的。所以，想要(a625)2的末四位是a625，只要取a是6252的倒着数的第四位就行了。
这样一算，就看出这个方法是有普遍性的。
现在我们看另一个三位数的自守数是376，376的平方是141376。那么1376是不是四位数的自守数呢？
你试试看，发现它并不是，1376不是自守数。把1换成它的补码9。发现9376正是四位数自守数。
这个方法也是有普遍性的。道理也不难弄清楚。想要 (a376)2的末四位是a376，必须 (a376)2－a376的末四位是0。算一算:
(a376)2－a376＝(1000a＋376)2－1000a－376
＝106×a2＋752a×l03十3762－l03a－376
＝106×a2十75a×l04十1000a十3762－376
＝(102a2十75a14)×l04＋(a＋1)×1000
想要这个数末尾四位是0，必须a十1＝10，也就是说。a必须是3762的倒着数的第四位的补码。
这样看来，知道第n位数的自守数，想进一步求两个n十l位的自守数。就要计算两个n位自守数的平方。这大概是最快的计算自守数的方法了。
有趣的是：工作量还可以再减少几乎一半。你看5+6=10+1；25+76＝100+1；625十376＝1000＋1;……。
这又是一个普遍规律。两个位数同为n的自守数，它们的和是 10n十1。知道了这个非常特别的联系。我们只要求出末尾为5的那个自守数，写出它的补码，再加1，便得到了另一个自守数。
看起来神秘的自守数，我们一步一步地去了解它，就变得越来越简单了。要是你想更简单一些，还有一个偷懒的办法，在计算n位自守数平方的时侯，不必把2n位答数都算出来。只要从右向左，算出n十l位就可以了。
以上所说，都是对十进制数说的。实际上，在其它进位数中，也是有自守数的。
我们也可以把自守数中平方的概念推广至立方，即一数经过立方后，最末的数个位仍可保持为原来的数的数，我们称为三阶自守数 (Trimorphic Number)。
以下为一些三阶自守数的例子：
|
三阶自守数
|
该数的立方
|
|
1
|
1
|
|
4
|
64
|
|
5
|
125
|
|
6
|
216
|
|
9
|
729
|
|
24
|
13824
|
|
25
|
15625
|
|
49
|
117649
|
|
51
|
132651
|
|
75
|
421875
|
|
76
|
438976
|
|
99
|
970299
|
|
125
|
1953125
|
|
249
|
15438249
|
|
251
|
15813251
|
|
375
|
52734375
|
|
376
|
53157376
|
|
499
|
124251499
|
|
501
|
125751501
|
|
624
|
242970624
|
|
625
|
244140625
|
|
749
|
420189749
|
|
751
|
423564751
|
|
875
|
669921875
|
|
999
|
997002999
|
我们知道二阶自守数（如5、6、25、76、625、376）也会同样是三阶自守数，但相反来说则不一定了，如 9 、24、875 等是三阶自守数，但不是二阶自守数。