神秘的自守數 江銘輝 五夢網
(本文參考自青少年百科叢書，數學遊戲故事，談詳柏、張景中編著)
如果某個數平方的末幾位數等於這個數，那麼這個數就稱為自守數(Automorphic Number)。
例如5和6就是自守數。因為
52=25; 62＝36。
這兩個數平方的結果，末尾仍然是5和6，不僅如此，任何兩個整數相乘，只要它們的末位數都是5或者6，那麼，乘積的末位數也必然仍舊是5或者6。例如：
65X55=3575；36X56=2016
說5和6是自守數。就是說它們有這樣的特性。
個位數，除了5、6以外，1和0也有這樣的特性，因為1×1＝1；0×0＝0，這是很明顯的。但是因為它們太明顯，同時5、6還可以延伸至2、3位，甚至於無窮位的自守數，而0、1，除了個位數以外，無法延伸到2位以上的自守數，所以一般討論一位數中的自守數，不將1和0算進去，只說5和6是自守數了。
再看2位數的自守數到底有哪些？
76是一個兩位數的自守數。因為：
76×76=5776;而且任何兩個數以76結尾的自然數相乘，它的乘積也必然以76結尾。例如：
776X976=757376。
要是你乘這樣的數，積的末兩位不是76，那肯定你計算錯了。不過，如果二個數目積的末兩位元是76，並不能保證被乘數和乘數的末尾是76。例如：212X48=10176。
在兩位數中，還有一個25是自守數。此外，就沒有兩位的自守數了。不信你可以試一試。
往後3位、4位……的自守數都有一對，可說自守數自2位數以後，都是2個，因為它們都是從5、6延伸出來。
三位的自守數，它們是625和376，四位自守數是9376和0625（如果你不承認0625是5位數的自守數，因為它是從0開頭的，那麼4位數就也只有一個自守數了。），五位自守數是90625和09376（如果你不承認09376是5位數的自守數，因為它是從0開頭的，那麼5位數就也只有一個自守數了）。
對於自守數的位數，我們說它有無限位數呢？它是沒有盡頭。
加拿大有兩位元數學工作者利用電子計算器，已經算出了五百位的自守數。
下面兩個一百位的自守數，是美國的加德納在一篇文章中寫出的，它們是：
3953007319108169802938509890062166509580863811000557
423423230896109004106619977392256259918212890625 ；
和
6046992680891830197061490109937833490419136188999442
576576769103890995893380022607743740081787109376。
這麼大的自守數。是怎麼找到的呢？說起來，這個辦法很簡單。只要x2－x能被10、102、103……10n 整除，求其x就行。
你要找個位數的自守數，只要找到這樣的個位數x，使x2－x能被10整除就行了。很明顯 ，這樣的個位數，只有三個:1、5、6。
求兩位的自守數，只要找到兩位數的X，它使x2－x，能被100整除就行了。這樣的x只有兩個，我們從10開始驗算至99為止，發現25和76符合x2－x，能被100整除。總共計算90次。
但對於三位數的自守數，如果也要這樣一個一個試，則要試900次，四位數要試9000次，五位數要試90000次，越來越麻煩，有沒有更簡單的辦法呢？
有！
首先你想，要是abcd是四位數的自守數，bcd是不是三位的自守數呢？我說一定是的。我們知道了三位自守數只有625和376，而二位數的自守數是25和76，個位數自守數是5、6，皆府符合這個原則，假設這個原則成立，我們要找的四位自守數，只有在a625和b376這種數去找了。即使一個一個地試，至多只要試二十次，也就把所有的四位自守數都找出來了。
同理，知道四位數的自守數，再試二十次，所有的五位自守數也有了，比起試90000次，工作量輕鬆上千倍。再試二十次，得到六位自守數。這就是動腦筋，找規律的好處。
但是試二十次才找到自守數，仍然麻煩，能不能不試二十次，就找到一個自守數呢？
能！
告訴你一個更簡單的方法，把625這個三位的自守數相乘，得390625，取末四位0625。把625這個三位的自守數相乘，得390625，取末四位0625。這末尾就是四位數的自守數。不信。你試試。任何兩個末尾是0625的數相乘，乘積的末尾還是0625。要是你不承認0625是四位數 (因為它是從0開始的)，那麼，以5結尾的四位自守數就再也沒有了。
把0625自乘，末尾五位是90625。這就是唯一的以5結尾的五位自守數。90625自乘，末尾六位是890625。這又得到了末尾是5的六位自守數。
這樣找自守數 ，多方便，可靠不可靠呢？它的道理如下。
設a625是四位自守數，計算一下:
(a625)2＝(1000a十625)2＝106a2十125a×104＋6252，兩邊一比較 ，看出了訣竅，右邊前兩項末四位都是0，原來(a625)2的末四位和6252的末四位是一樣的。所以 ，想要(a625)2的末四位是a625，只要取a是6252的倒著數的第四位就行了。
這樣一算，就看出這個方法是有普遍性的。
現在我們看另一個三位數的自守數是376，376的平方是141376。那麼1376是不是四位數的自守數呢？
你試試看 ，發現它並不是，1376不是自守數 。把1換成它的補數9。發現9376正是四位數自守數。
這個方法也是有普遍性的 。道理也不難弄清楚 。想要 (a376)2的末四位是a376，必須 (a376)2－a376的末四位是0。算一算:
(a376)2－a376＝(1000a＋376)2－1000a－376
＝106×a2＋752a×l03十3762－l03a－376
＝106×a2十75a×l04十1000a十3762－376
＝(102a2十75a14)×l04＋(a＋1)×1000
想要這個數末尾四位是0，必須a十1＝10，也就是說。a必須是3762的倒著數的第四位的補數。
這樣看來，知道第n位數的自守數，想進一步求兩個n十l位的自守數。就要計算兩個n位自守數的平方。這大概是最快的計算自守數的方法了。
有趣的是：工作量還可以再減少幾乎一半。你看5+6=10+1；25+76＝100+1；625十376＝1000＋1;……。
這又是一個普遍規律。兩個位數同為n的自守數，它們的和是 10n十1。知道了這個非常特別的聯繫。我們只要求出末尾為5的那個自守數，寫出它的補數，再加1，便得到了另一個自守數。
看起來神秘的自守數，我們一步一步地去瞭解它，就變得越來越簡單了。要是你想更簡單一些，還有一個偷懶的辦法，在計算n位自守數平方的時侯，不必把2n位答數都算出來。只要從右向左，算出n十l位就可以了。
以上所說，都是對十進位數字說的。實際上，在其它進位數中，也是有自守數的。
我們也可以把自守數中平方的概念推廣至立方，即一數經過立方後，最末的數個位仍可保持為原來的數的數，我們稱為三階自守數 (Trimorphic Number)。
以下為一些三階自守數的例子：
|
三階自守數
|
該數的立方
|
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1
|
1
|
|
4
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64
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5
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125
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6
|
216
|
|
9
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729
|
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24
|
13824
|
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25
|
15625
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49
|
117649
|
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51
|
132651
|
|
75
|
421875
|
|
76
|
438976
|
|
99
|
970299
|
|
125
|
1953125
|
|
249
|
15438249
|
|
251
|
15813251
|
|
375
|
52734375
|
|
376
|
53157376
|
|
499
|
124251499
|
|
501
|
125751501
|
|
624
|
242970624
|
|
625
|
244140625
|
|
749
|
420189749
|
|
751
|
423564751
|
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875
|
669921875
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999
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997002999
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我們知道二階自守數（如5、6、25、76、625、376）也會同樣是三階自守數，但相反來說則不一定了，如 9 、24、875 等是三階自守數，但不是二階自守數的自守數。