一道24届奥林匹克数学中学生竞赛题目 江铭辉 五梦网
第24届奥林匹克数学中学生竞赛有一道题目如下：
设a、b、c是三角形的边长，请证明
a2b(a－b)＋b2c(b－c)＋c2a(c－a)≧0……(1)
这个题目的证明如下：
1. 如果是正三角形，则a＝b＝c
a2b(a－b)＋b2c(b－c)＋c2a(c－a)＝0
式(1)成立。
2. 如果此三角形不是正三角形，设a为最大边（若设b或c为最大边，证明方法都一样），因为a2b(a－b)＋b2c(b－c)＋c2a(c－a)
＝a(b－c)2(b＋c－a)＋b(a－b)(a－c)(a＋b－c)
根据三角形二边的和大于第三边，(b＋c－a)及(a＋b－c)都大于0，因此a、(b－c)2、(b＋c－a)、b、(a－b)、(a－c)、(a＋b－c)都是正数，所以
a2b(a－b)＋b2c(b－c)＋c2a(c－a) ≧0
有人直接认为这里的a、b、c，可以推广为任意正数，但实际上是不行的，也就是说对于任意的正数a、b、c，a2b(a－b)＋b2c(b－c)＋c2a(c－a)≧0是不一定能成立的。
要证明a2b(a－b)＋b2c(b－c)＋c2a(c－a)≧0不一定能成立的，只要提出一个使它不能成立的例子就足够了。我们证明方法如下：
设b＞a，而b－a不是极小的负数，这时a2b(a－b)＜0，但不是极小，再设c极小，这时b2c(b－c)极小，c2a(c－a)更小，因为c2更小，所以b2c(b－c)＋c2a(c－a)极小，∣a2b(a－b)｜比b2c(b－c)＋c2a(c－a)数目大，但a2b(a－b)是负数，所以a2b(a－b)＋b2c(b－c)＋c2a(c－a)＜0；此证明推广有误。
为什么会产生此现象呢？笔者认为是三角形在作怪，因为三角形二边的和大于第三边，无论如何都需遵守，但如果只是任意的三个正数则无需遵守此规定。因此如果题目限制是三角形，受三角形的规定，当c很小时，(a－b)更小，因为(a－b)＜c，所以仍然会产生a2b(a－b)＋b2c(b－c)＋c2a(c－a)＞0，就不会发生有a2b(a－b)＋b2c(b－c)＋c2a(c－a)＜0的现象了。