一道24屆奧林匹克數學中學生競賽題目 江銘輝 五夢網
第24屆奧林匹克數學中學生競賽有一道題目如下：
設a、b、c是三角形的邊長，請證明
a2b(a－b)＋b2c(b－c)＋c2a(c－a)≧0……(1)
這個題目的證明如下：
1. 如果是正三角形，則 a＝b＝c
a2b(a－b)＋b2c(b－c)＋c2a(c－a)＝0
式(1)成立。
2. 如果此三角形不是正三角形，設a為最大邊（若設b或c為最大邊，證明方法都一樣），因為a2b(a－b)＋b2c(b－c)＋c2a(c－a)
＝a(b－c)2(b＋c－a)＋b(a－b)(a－c)(a＋b－c)
根據三角形二邊的和大於第三邊，(b＋c－a)及(a＋b－c)都大於0，因此a、(b－c)2、(b＋c－a)、b、(a－b)、(a－c)、(a＋b－c)都是正數，所以
a2b(a－b)＋b2c(b－c)＋c2a(c－a) ≧0
有人直接認為這裡的a、b、c，可以推廣為任意正數，但實際上是不行的，也就是說對於任意的正數a、b、c，a2b(a－b)＋b2c(b－c)＋c2a(c－a)≧0是不一定能成立的。
要證明a2b(a－b)＋b2c(b－c)＋c2a(c－a)≧0不一定能成立的，只要提出一個使它不能成立的例子就足夠了。我們證明方法如下：
設b＞a，而b－a不是極小的負數，這時a2b(a－b)＜0，但不是極小，再設c極小，這時b2c(b－c)極小， c2a(c－a)更小，因為c2更小，所以b2c(b－c)＋c2a(c－a)極小， ∣a2b(a－b)｜比b2c(b－c)＋c2a(c－a)數目大，但a2b(a－b)是負數，所以a2b(a－b)＋b2c(b－c)＋c2a(c－a)＜0；此證明推廣有誤。
為什麼會產生此現象呢？筆者認為是三角形在作怪，因為三角形二邊的和大於第三邊，無論如何都需遵守，但如果只是任意的三個正數則無需遵守此規定。因此如果題目限制是三角形，受三角形的規定，當c很小時，(a－b)更小，因為(a－b)＜c，所以仍然會產生a2b(a－b)＋b2c(b－c)＋c2a(c－a)＞0，就不會發生有a2b(a－b)＋b2c(b－c)＋c2a(c－a)＜0的現象了。