单利和复利 江铭辉 五梦网
（本编大部份参考The Math of Money，作者：Morton D. Davis）
图：复利有如滚雪球般，越滚越大。
前言：你是否曾经把钱存在银行的经验，你可知道银行利息的算法分单利和复利，单利的算法是规定在你把钱存在银行一段间后，你在银行所得的利息为你最初所存的钱乘以银行的利率再乘以存钱的时间，假设最初你所存的钱为本金，则最后你在银行所得的利息为：
利息＝本金×利率×存款时间
而最后总共的存款为：
最初存款＋利息＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×存款时间＝本金(1＋利率×存款时间)
如果你所存的银行，对客户的利息是采复利计算，你打算将钱存n年，银行人员对你说，你所存的钱每隔一年，银行会把上一年的本金，与银行每年的利息，合并变成新的本金。如此计算下去，这种算法叫复利。
复利的计算方法如下：
第一期结束：本金＋利息＝本金＋利率×本金＝本金(1＋利率)
第二期结束：本金＋利息＝第一期本金＋第一期本金×利率＝本金 (1+利率)2
……
……
……
第n期结束：第(n－1)期本金＋第(n－1)本金×利率＝本金 (1+利率)n
由此看来，复利有如滚雪球般，越滚越大。
利率的观念
在未讨论单利和复利之前，先考考你对利率的观念：
1. 假设纽约曼哈顿岛（Manhattan）在1626年时售价为24美元，而1986年时涨到25兆元，则年利率大约是多少：
(1) 50,00%
(2) 600%
(3) 100%
(4) 8%
(5) 2%
答：8%；从1826年到1996年间，曼哈顿岛平均涨幅每年8%。验算如下：
24×(1.08)360＝25,868,000,000,000。
2. 有人向高利贷公司借了1,000元，利息约定是每曰1%(每天复利一次)，他拖延到年底，才一并偿还本息。请问他年底时应偿还多少？
(1) 3650元
(2) 5658元
(3) 27869元
(4) 37810元
答：利息1%，每天复利，一年不是利率365%，它大概是这个数字的十倍，一年后，这个人需还37830元，大概1,000元的37.81倍，也就是利率3781%。算法如下：
1000×(1.01)365＝37810元
重视利率
利率对生活的影响十分深远，不管是缴贷款、分期付款、租屋、公务人员或公司退休金，或是跟住在隔壁的杂货店借钱，都会运用到利率的概念，尽管利率处处可见，但一般人对利率的观念还是不大正确，致使产生错误的观念付出昂贵的代价。
一般而言，今天的一元比明天的一元有价值，就算明天一定可拿到这一元，今天的一元还是比较值钱。所以当你向银行借钱时。你不只要还所借金额，也要偿还「利息」。
计算利率，常见的错误
假设你要买一台价值6000元的洗碗机。与其一次付清全额，或分期付款，计划分13个月偿还，月付500元。若分期付款购买洗碗机，须于当时付第一笔款项。这相当于你须偿还给经销商13×500＝6500元，所以一年的利息是500元。因为你分一年偿还，所以年利率看起来好像是500÷6000＝8.333%，但事实不然，这种算法大大低估了利率，其实真正的利率比8. 333%的二倍还高。假若你用分期付款买台6000元的洗碗机，代表你先向洗碗机的经销商借6000元留在口袋一整年，等年底时，再一并结清。因为你分期付款的第一笔钱，当场就付了，往后把第1个月和第12个月付款相加1000元，第2个月和第11个月付款相加也1000元，你在6个月内已还款完毕，因此你实际上所付的利息不是8.333%，大约比8.33%的二倍还多，约18%。
借钱给别人的时候，别忘记对方须还的钱是多少。也就是说，对方需偿还的本金＋利息。租房子都得付先付租金和押金，租得愈久，你所收押金生息也愈多。
单利和复利的差别
假设你以1000元把钱存在银行，这家银行每年付你每年10%的利息。如果你一直把钱放在这家银行，四十年后你去领回，你领到的钱可能只有5000元，也可能多达45259元。差距会这么大，全是因为利息算法不同。这怎么说呢？因为决定利息多少与银行付给你的利息到底是单利或复利有关？
假设你存1000元，40年后你可获得的利息：
如果在没有复利之下，40年后你只能拿到5000元，若每年复利的话，可拿45259元。
假设以10%单利计息，第1年年底时可得1l00元，第2年年底时可得1200元，第n年年底时可得(1000+100n)元，40年后可领5000元。如果是复利计息，每年复利一次，这代表在第1年时以单利计息，年底时你赚到的利息l100元会加到本金里，在第2年你就有本金1100元，第2年年底就有本金1210元，换句话说，每年年底累积的本利和就变成下年的本金，如果你有本金1000元，每年复利一次，40年后本利和将是45259元了。
如果以复利计息，每半年复利一次，这代表每半年底累积的本利和就是下半年的本金，而下半年的本利和就是下半年的本金再乘以1.05(年息是10%，每半年的利息就是5%)。如果你有本金1000元，每半年复利1次，40年后本利和将是49,561元，只增加4302元。
复利期间愈短，复利的次数就愈多，本利和也会随之增加，但越来增加越少，但无论再怎么增加，最后总金额也不会超过54,598元。
复利探讨
假如你投资1000元两年，以单利计息，年利率10%，则第2年年底时，本利和为1200元。若以复利计息，年利率10%，则第2年年底时，本利和1210元。有了些微差距，投资时间一长，差距就显现出来，让我们算算两者的差异。
假设本金是P元，利率为x%：
以复利计算，年底时本利和为：P（1＋x/100），P是本金，想求第2年年底的本利和时，就把第1年年底所得的本利和[即P（1＋x/100）]和（1＋x/100）相乘
，便可得到本利和为P(1＋x/100)2，以此类推，第n年底时，你的本利和就是：
P(1＋x/100)n，
虽然长期看来，复利的时间越短，利息会增加，但增加幅度依然有限。报纸上常有「天天复利」的银行广告。但其实每季复利一次和每天复利一次所得的利息，相差寥寥无几。假设你以1000元为本金，年利率8%、每年复利一次。
则第1年年底时，本利和是1080元。如果每年复利4次，则第1年年底的本利和是1000×(1＋0.02)4＝1082.43元，比每年复利一次的，只利息2.43元。若改为天天复利，本利和是1000×(1＋0.008/365)365＝1083.28元，仅比每季复利的利息多了0.85元。如此你觉得你可以靠复利次数增加而致富吗？
为什么复利次数增加利息最后不变
虽然复利次数愈多对你愈有利，但利息增加的金额有一定极限。如同早先提到的，假如利率为x，本金为1元，则在M年的年末，你可获得本利和(1+x)M元。但现在改为1年复利N次，年利率仍然x，则每次复利的利率为(x/N)%，M年后，总共复利MN次，则在M年底时，你手中的1元会变成：
(1+x%/N)MN元……(1)
根据数学公式当n值无穷大时，
，e是数学上有名的自然对数的底数，等于2.71828。
现在以N/x%＝n，代入式(1)，得：
(1＋1/ N/x%)MN＝(1＋1/n)nMx%＝eMx% 所以(1＋x%/ N)MN不会超过eMx%这个值。