單利和複利 江銘輝 五夢網
（本編大部份參考The Math of Money，作者：Morton D. Davis）
圖：複利有如滾雪球般，越滾越大。
前言：你是否曾經把錢存在銀行的經驗，你可知道銀行利息的算法分單利和複利，單利的算法是規定在你把錢存在銀行一段間後，你在銀行所得的利息為你最初所存的錢乘以銀行的利率再乘以存錢的時間，假設最初你所存的錢為本金，則最後你在銀行所得的利息為：
利息＝本金×利率×存款時間
而最後總共的存款為：
最初存款＋利息＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×存款時間＝本金(1＋利率×存款時間)
如果你所存的銀行，對客戶的利息是採複利計算，你打算將錢存n年，銀行人員對你說，你所存的錢每隔一年，銀行會把上一年的本金，與銀行每年的利息，合併變成新的本金。如此計算下去，這種算法叫複利。
複利的計算方法如下：
第一期結束：本金＋利息＝本金＋利率×本金＝本金(1＋利率)
第二期結束：本金＋利息＝第一期本金＋第一期本金×利率＝本金 (1+利率)2
……
……
……
第n期結束：第(n－1)期本金＋第(n－1)本金×利率＝本金 (1+利率)n
由此看來，複利有如滾雪球般，越滾越大。
利率的觀念
在未討論單利和複利之前，先考考你對利率的觀念：
1. 假設紐約曼哈頓島（Manhattan）在1626年時售價為24美元，而1986年時漲到25兆元，則年利率大約是多少：
(1) 50,00%
(2) 600%
(3) 100%
(4) 8%
(5) 2%
答：8%；從1826年到1996年間，曼哈頓島平均漲幅每年8%。驗算如下：
24×(1.08)360＝25,868,000,000,000。
2. 有人向高利貸公司借了1,000元，利息約定是每曰1%(每天複利一次)，他拖延到年底，才一併償還本息。請問他年底時應償還多少？
(1) 3650元
(2) 5658元
(3) 27869元
(4) 37810元
答：利息1%，每天複利，一年不是利率365%，它大概是這個數字的十倍，一年後，這個人需還37830元，大概1,000元的37.81倍，也就是利率3781%。算法如下：
1000×(1.01)365＝37810元
重視利率
利率對生活的影響十分深遠，不管是繳貸款、分期付款、租屋、公務人員或公司退休金，或是跟住在隔壁的雜貨店借錢，都會運用到利率的概念，儘管利率處處可見，但一般人對利率的觀念還是不大正確，致使產生錯誤的觀念付出昂貴的代價。
一般而言，今天的一元比明天的一元有價值，就算明天一定可拿到這一元，今天的一元還是比較值錢。所以當你向銀行借錢時。你不只要還所借金額，也要償還「利息」。
計算利率，常見的錯誤
假設你要買一臺價值6000元的洗碗機。與其一次付清全額，或分期付款，計劃分13個月償還，月付500元。若分期付款購買洗碗機，須於當時付第一筆款項。這相當於你須償還給經銷商13×500＝6500元，所以一年的利息是500元。因為你分一年償還，所以年利率看起來好像是500÷6000＝8.333%，但事實不然，這種算法大大低估了利率，其實真正的利率比8. 333%的二倍還高。假若你用分期付款買台6000元的洗碗機，代表你先向洗碗機的經銷商借6000元留在口袋一整年，等年底時，再一併結清。因為你分期付款的第一筆錢，當場就付了，往後把第1個月和第12個月付款相加1000元，第2個月和第11個月付款相加也1000元，你在6個月內已還款完畢，因此你實際上所付的利息不是8.333%，大約比8.33%的二倍還多，約18%。
借錢給別人的時候，別忘記對方須還的錢是多少。也就是說，對方需償還的本金＋利息。租房子都得付先付租金和押金，租得愈久，你所收押金生息也愈多。
單利和複利的差別
假設你以1000元把錢存在銀行，這家銀行每年付你每年10%的利息。如果你一直把錢放在這家銀行，四十年後你去領回，你領到的錢可能只有5000元，也可能多達45259元。差距會這麼大，全是因為利息算法不同。這怎麼說呢？因為決定利息多少與銀行付給你的利息到底是單利或複利有關？
假設你存1000元，40年後你可獲得的利息：
如果在沒有複利之下，40年後你只能拿到5000元，若每年複利的話，可拿45259元。
假設以10%單利計息，第1年年底時可得1l00元，第2年年底時可得1200元，第n年年底時可得(1000+100n)元，40年後可領5000元。如果是複利計息，每年複利一次，這代表在第1年時以單利計息，年底時你賺到的利息l100元會加到本金裡，在第2年你就有本金1100元，第2年年底就有本金1210元，換句話說，每年年底累積的本利和就變成下年的本金，如果你有本金1000元，每年複利一次，40年後本利和將是45259元了。
如果以複利計息，每半年複利一次，這代表每半年底累積的本利和就是下半年的本金，而下半年的本利和就是下半年的本金再乘以1.05(年息是10%，每半年的利息就是5%)。如果你有本金1000元，每半年複利1次，40年後本利和將是49,561元，只增加4302元。
複利期間愈短，複利的次數就愈多，本利和也會隨之增加，但越來增加越少，但無論再怎麼增加，最後總金額也不會超過54,598元。
複利探討
假如你投資1000元兩年，以單利計息，年利率10%，則第2年年底時，本利和為1200元。若以複利計息，年利率10%，則第2年年底時，本利和1210元。有了些微差距，投資時間一長，差距就顯現出來，讓我們算算兩者的差異。
假設本金是P元，利率為x%：
以複利計算，年底時本利和為：P（1＋x/100），P是本金，想求第2年年底的本利和時，就把第1年年底所得的本利和[即P（1＋x/100）]和（1＋x/100）相乘
，便可得到本利和為P(1＋x/100)2，以此類推，第n年底時，你的本利和就是：
P(1＋x/100)n，
雖然長期看來，複利的時間越短，利息會增加，但增加幅度依然有限。報紙上常有「天天複利」的銀行廣告。但其實每季複利一次和每天複利一次所得的利息，相差寥寥無幾。假設你以1000元為本金，年利率8%、每年複利一次。
則第1年年底時，本利和是1080元。如果每年複利4次，則第1年年底的本利和是1000×(1＋0.02)4＝1082.43元，比每年複利一次的，只利息2.43元。若改為天天複利，本利和是1000×(1＋0.008/365)365＝1083.28元，僅比每季複利的利息多了0.85元。如此你覺得你可以靠複利次數增加而致富嗎？
為什麼複利次數增加利息最後不變
雖然複利次數愈多對你愈有利，但利息增加的金額有一定極限。如同早先提到的，假如利率為x，本金為1元，則在M年的年末，你可獲得本利和(1+x)M元。但現在改為1年複利N次，年利率仍然x，則每次複利的利率為(x/N)%，M年後，總共複利MN次，則在M年底時，你手中的1元會變成：
(1+x%/N)MN元……(1)
根據數學公式當n值無窮大時，
，e是數學上自然對數的底數，等於2.71828。
現在以N/x%＝n，代入式(1)，得：
(1＋1/ N/x%)MN＝(1＋1/n)nMx%＝eMx% 所以(1＋x%/ N)MN不會超過eMx%這個值。